Geometría | Capítulo 1

 

 

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Realmente se tiene poca información relacionada con la vida de los grandes matemáticos griegos y Euclides no es la excepción. Prácticamente todo lo que se conoce de él está contenido en unas pocas líneas del sumario de Proclos. De estas notas se concluye que Euclides nació a finales del siglo IV a.C.; que estudió en la "Academia'', un centro de estudios fundado por Platón en el año 380 a.C.; y que enseñó en la Universidad de Alejandría, en la ciudad con ese mismo nombre, fundada por Alejandro Magno en el año 332 a.C. en Egipto, en la desembocadura del río Nilo.

Se sabe que escribió sobre música y óptica, y tiene una obra titulada "Sofismas'', que se suponía era para "ejercitar la inteligencia''. Sin embargo, se le conoce más que todo por su obra Elementos, que por más de veinte siglos fue considerada un modelo deductivo perfecto, el cual influyó en la manera de pensar y enseñar los conocimientos matemáticos; aún hoy día, mejoras de esta teoría, son fundamentales en los cursos básicos de geometría.

No se conocen copias originales de los Elementos, sin embargo, las ediciones que se conocen están basadas en una revisión preparada por Theon de Alejandría, casi 700 años después de que el trabajo original fue escrito. Vale mencionar que a principios del siglo XIX, en la Biblioteca del Vaticano, se encontró una copia de los Elementos de Euclides con muy pocas diferencias a la escrita por Theon.

En general los Elementos tratan sobre diversos temas de la matemática. Además de geometría, tienen bastante sobre teoría de números y álgebra elemental. Aun cuando en su mayor parte son una compilación y arreglo sistemático de trabajos anteriores, no hay duda de que algunas de las proposiciones y sus demostraciones fueron hechas por el propio Euclides.

Probablemente la intención de Euclides en los Elementos era dar un desarrollo lógico de la geometría, de manera tal que todo teorema o proposición fuese rigurosamente deducido de verdades evidentes, explícitamente establecidas al inicio. La mayor importancia dada a los Elementos y la razón para la profunda influencia que ha tenido en el pensamiento matemático subsecuente, no es tanto por sus contenidos sino por la metodología utilizada para presentarlos. El mayor mérito de los Elementos de Euclides radica en la selección y ordenamiento lógico de los resultados que presenta, de hecho los Elementos son el prototipo de forma de la matemática moderna. Este enfoque o patrón de pensamiento axiomático-deductivo fue concebido por Pitágoras, pero fue Euclides el primero, de quien se tiene referencia, en plasmarlo en una teoría.

A modo de descripción, el libro I contiene definiciones, postulados y axiomas preliminares básicos. Las 48 proposiciones que contiene, están divididas en tres grupos: las primeras 26 tienen que ver con las propiedades de los triángulos, incluyendo congruencias; desde la 27 a la 32 establece la teoría de paralelas y prueba que la suma de las medidas de los ángulos internos en cualquier triángulo es igual a dos ángulos rectos; el resto de este grupo de proposiciones tienen que ver con paralelogramos, triángulos y cuadrados y con referencias especiales a las relaciones de sus áreas; la proposición 47 es el teorema de Pitágoras con su demostración universal creada por el mismo Euclides, se supone; y la proposición 48 es el recíproco del teorema de Pitágoras.

El libro II trata sobre las transformaciones de áreas y el álgebra geométrica de la Escuela Pitagórica. En este libro es donde se encuentran las equivalencias geométricas con las identidades algebraicas numéricas.

El libro III contiene teoremas sobre círculos, cuerdas, tangentes y las medidas de ángulos asociadas con estos. A pesar de que en el trabajo de los Pitagóricos se encuentra poco sobre la geometría de los círculos, se cree que el material sobre esta parte fue basado en el trabajo de los Sofistas y en las investigaciones realizadas sobre tres problemas famosos:

  1. La duplicación de un cubo: construir las aristas de un cubo que tenga el doble del volumen de un cubo dado.

  2. La trisección de un ángulo: dividir un ángulo en tres ángulos congruentes.

  3. La cuadratura del círculo: construir un cuadrado cuya área sea igual a la de un círculo dado.

En realidad la importancia de estos problemas no radicó en que no se pudieran realizar dichas construcciones usando sólo regla y compás, sino en que la búsqueda de la solución de estos problemas influyó en el desarrollo de la geometría griega y llevó a nuevos descubrimientos importantes como: secciones cónicas, curvas cúbicas y de cuarto grado, números algebraicos y la teoría de grupos entre otras. La imposibilidad de resolver estos problemas utilizando solo regla y compás fue establecida hasta el siglo XIX, más de 2000 años después de que los problemas fueron concebidos.

En el libro IV se encuentran discusiones sobre construcciones geométricas con regla y compás de polígonos regulares de tres, cuatro, cinco, seis y quince lados. También por una bisección sucesiva de ángulos o arcos se puede lograr, con las herramientas Euclideanas, la construcción de polígonos regulares que tienen $2^n,$ $3(2^n),$ $5 (2^n)$ y $15 (2^n)$ lados.

No fue sino hasta el siglo XIX cuando se conoció que ningún otro polígono regular se podía construir con estas herramientas. Más tarde el eminente matemático alemán Carl Friedrich Gauss desarrolló una teoría para demostrar que un polígono regular con un número primo de lados podía ser construido, con herramientas Euclídeas, si y solo sí el número de lados es de la forma $f(n)=2^{2^n}+1.$ Para $n=0,1,2,3$ y $4$ los valores de $f(n)$ son $3,5,17,257,65537,$ todos ellos números primos. Los griegos no sabían que polígonos de 17, 257 y 65537 lados se podían construir. Aparte de los valores de $n$ citados no se conocen otros para los cuales $f(n)$ sea primo.
En el libro V se expone la teoría de proporciones de Eudoxos. Esta teoría era tan aplicable a lo medible como a lo no medible y vino a resolver una especie de escándalo lógico creado por el descubrimiento de los números irracionales de los Pitagóricos, pues toda la teoría de proporcionalidad Pitagórica asumía que todo par de magnitudes eran conmensurables y el descubrimiento de los irracionales derribaba esta suposición.

En el libro VI aparece la aplicación de la teoría de Eudoxos a la geometría Plana. En éste se encuentran los teoremas fundamentales de semejanza de triángulos, construcciones usando la proporcionalidad, solución geométrica de ecuaciones de grado dos, la proposición de que el bisector de un ángulo divide el lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados, una generalización del teorema de Pitágoras y muchos otros teoremas. Probablemente todos los teoremas de este libro eran conocidos para los primeros Pitagóricos, pero las demostraciones de los pre-Eudoxos fallaron por basarse en una teoría incompleta sobre proporciones.

Los libros VII-VIII-IX contienen un total de 110 proposiciones que tienen que ver con la teoría elemental de números. En el libro VII se describe el proceso para encontrar el mayor entero divisor de dos o más enteros y se usa esto como prueba para encontrar primos relativos enteros. El libro VIII tiene que ver extensamente con proporciones y progresiones geométricas. En el libro IX se encuentran proposiciones muy importantes, tal como la proposición 14 cuya importancia es equivalente a la del teorema fundamental de la aritmética. En la proposición 36 se expone la extraordinaria fórmula para números perfectos; y como modelo de la elegancia, según muchos matemáticos, la demostración de la proposición 20: "El número de enteros primos es infinito''.

El libro X tiene que ver con irracionales, esto es segmentos de línea recta no medibles con respecto a segmentos de línea recta medibles. Este libro es considerado por muchos como el más extraordinario, aún cuando la mayoría de los aspectos tratados aquí datan de la época de Tahetetus. Lo extraordinariamente completo, la clasificación y acabado se le atribuyen a Euclides.

Los restantes libros XI-XII-XIII tienen que ver con sólidos geométricos. Las definiciones, los teoremas sobre líneas y planos en el espacio y los teoremas concernientes a paralelepípedos se encuentran en el libro XI. El método exhaustivo juega un papel importante en la presentación de volúmenes en el libro XII.

Se estudia otro problema famoso y elegante, en el libro XIII que es la construcción de poliedros regulares. Estos poliedros son sólidos simples cuya superficie consiste en un número de caras poligonales congruentes y ángulos sólidos en los vértices congruentes. Hay cinco poliedros regulares y reciben su nombre por el número de caras regulares que tienen: El tetraedro (cuatro caras triangulares), el hexaedro o cubo (seis caras cuadradas), el octaedro (ocho caras triangulares), el dodecaedro (doce caras pentagonales) y el icosaedro (veinte caras triangulares). Platón y sus seguidores estudiaron estos poliedros por eso algunas veces se les llama "sólidos Platónicos".


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