Geometría | Capítulo 1

 


 

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Euclides basó todos sus teoremas en cinco postulados:

  1. Trazar una línea recta de cualquier punto a cualquier otro.

  2. Prolongar una línea recta finita continuamente en una línea recta.

  3. Describir un círculo con cualquier centro y distancia.

  4. Que todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

  5. Que si una línea recta, cayendo sobre dos líneas rectas, hace ángulos internos al mismo lado menor que dos ángulos rectos, las dos líneas rectas, si se prolongan infinitamente, se encuentran en aquel lado en donde los ángulos son menores que dos ángulos rectos.

Los primeros cuatro postulados tienen como característica que fueron aceptados como verdades auto-evidentes, pero el quinto postulado no tiene la consistencia de los otros. De hecho el primer uso que se hace en los Elementos de este postulado, es en la demostración de la proposición 29, lo que ha llevado a los estudiosos a conjeturar en dos direcciones más o menos convergentes. Para unos, el mismo Euclides no estaba satisfecho con este postulado por lo que trató de postergar su utilización lo más posible. Para otros resultó natural preguntarse si este postulado es necesario del todo, y los llevó a pensar que tal vez podría ser derivado como un teorema de los otros postulados o al menos reemplazado por uno equivalente más aceptable; de hecho generaciones enteras de matemáticos trataron infructuosamente de "demostrar'' el quinto postulado.

Uno de los principales sustitutos del quinto postulado de Euclides apareció por primera vez en el Sumario de Proclos quien enunció un postulado equivalente. Este postulado se conoce como axioma de Playfair, pues en 1795 el matemático escocés John Playfair propuso reemplazar el quinto postulado de Euclides por el axioma de Proclos:

 

 
   Axioma (de Playfair)
 

Dada una línea y un punto que no esté en la línea, es posible trazar exactamente una línea a través del punto dado paralela a la línea.

 Se plantearon muchas otras alternativas equivalentes para sustituir el quinto Postulado de Euclides. Algunas propuestas fueron:

  1. Existe al menos un triángulo que tiene la suma de sus ángulos internos igual a dos ángulos rectos.

  2. Un círculo puede ser trazado por cualesquiera tres puntos no colineales.

Como se ha dicho, los intentos de probar el quinto postulado de Euclides a partir de los nueve axiomas y postulados restantes ocuparon a los geómetras por más de dos mil años y culminaron en algunos de los desarrollos de la matemática más ricos. Muchas pruebas aparecieron pero tarde o temprano se demostraba que asumían tácitamente alguna cosa equivalente al postulado mismo.

No fue sino hasta 1733 cuando Girolamo Saccheri, un jesuita italiano profesor de la Universidad de Pavia publicó un libro titulado "Euclides ab omni naevo vindicatus"  (Euclides de todo defecto vindicado) en el cual, sin usar el quinto postulado, Saccheri mostraba que:

Si en un cuadrilátero $ABCD$, los ángulos $\angle C$ y $ \angle B$ son rectos y los lados $AD$ y $BC$ son iguales, entonces los ángulos $\angle C$ y $ \angle D$ son iguales.

Entonces estos ángulos tienen tres posibilidades: ángulos agudos iguales ( hipótesis del ángulo agudo), ángulos rectos iguales (hipótesis del ángulo recto) o ángulos obtusos iguales (hipótesis del ángulo obtuso).

Figura 1.1

La hipótesis del ángulo recto es equivalente al quinto postulado de Euclides y al parecer la idea de Saccheri era verificar que las hipótesis del ángulo agudo y del ángulo obtuso podían descartarse por contradicción. Saccheri logró probar, asumiendo la infinitud de la línea recta, que la hipótesis del ángulo obtuso implicaba el quinto postulado y así conducía a una contradicción. No obstante la hipótesis del ángulo agudo resultó mucho más difícil. De hecho, después de obtener muchos de los teoremas clásicos de las hoy llamadas geometrías no-Euclídeas, Saccheri forzó sus desarrollos hacia una contradicción poco convincente que recurría a una dudosa suposición acerca de elementos infinitos dentro del plano. Este trabajo fue poco conocido por sus contemporáneos y pronto fue olvidado.

Los intentos continuaron involucrando a grandes matemáticos en la historia. El matemático alemán Johann Heinrich Lambert (1728-1777) escribió sobre una investigación, en la misma línea de Saccheri[6], titulada "Die Theorie der Parallellinien."   En su trabajo Lambert fue mucho más allá que Saccheri y aunque no pudo demostrar el quinto postulado, conjeturó sobre la posible interpretación de una geometría siguiendo la hipótesis del ángulo agudo, y descubrió que en esta nueva geometría, la suma de los ángulos internos de un triángulo aumenta conforme su área decrece.

También el matemático francés Adrien-Marie Legendre (1752-1833) inició un nuevo intento, esta vez considerando tres hipótesis: La suma de los ángulos internos de un triángulo es menor, igual o mayor que dos ángulos rectos. Asumiendo tácitamente la infinitud de la línea recta logró descartar la tercera hipótesis y probó que la segunda hipótesis era equivalente al quinto postulado, pero, a pesar de hacer muchos intentos, no pudo descartar la primera hipótesis. Ambos, Saccheri y Legendre, lograron probar que la suma de los ángulos internos de un triángulo es menor o igual a dos ángulos rectos.

Los primeros matemáticos que realmente comprendieron el problema de las paralelas fueron el alemán Carl Friedrich Gauss, el húngaro Johannes Bolyai y el ruso Nicolai Ivanovitch Lobachevsky. Los tres abordaron el asunto asumiendo una variante del axioma de Playfair, para el quinto postulado de Euclides, que consideraba tres posibilidades: A través de un punto pueden trazarse más de una, exactamente una o ninguna línea paralela a una línea dada. Esas tres situaciones corresponden con las hipótesis de ángulo agudo, ángulo recto y ángulo obtuso respectivamente. Nuevamente, asumiendo la infinitud de la línea recta, el tercer caso fue eliminado y los tres en forma independiente desarrollaron, una geometría extensa y consistente.

Se tienden a ubicar a Gauss, en algunos textos, como el que logró las conclusiones más profundas de esta nueva geometría. En realidad es difícil afirmar eso o lo contrario, dado que aunque se tiene la certeza de que él abordó el problema, lo cierto es que sus logros en este sentido quedaron ocultos para la comunidad matemática[4,6]. Algunos autores señalan que Gauss descubrió estos resultados, pero una razón que lo influyó a no darlos a conocer fue el hecho de que para aquella época el ambiente intelectual en Alemania estaba absolutamente dominado por la filosofía de Kant, y uno de sus dogmas básicos era la idea de que la geometría euclídea era la única manera posible de pensar acerca del espacio. Gauss, aunque sabía que esto era falso y que la filosofía Kantiana tenía sus debilidades prefirió evitar la confrontación y conservar su tranquilidad.

Se sugiere que de alguna manera el trabajo de Gauss pudo haber influenciado el descubrimiento por parte de Bolyai de la geometría no-euclídea. Éste publicó sus resultados en un apéndice de un libro de su padre, quien era amigo de Gauss y también había abordado infructuosamente el problema del paralelismo.

Por su parte, y en forma absolutamente independiente, Lobachevsky publicó sus resultados en 1829 en una publicación interna de la universidad de Kazan, lugar del cual Lobachevsky fue alumno, profesor y rector. Y no fue hasta aproximadamente después de 10 años cuando su trabajo se publicó en una revista de audiencia más general y su geometría no-euclídea recibió una amplia difusión en la comunidad matemática.

La gran mayoría de los autores tienden a atribuirles a Lobachevsky y a Bolyai el descubrimiento de la geometría no-euclídea.

Una geometría más ocupa un lugar en esta discusión. En 1854 Reimman, un pupilo de Gauss, demuestra que si se descarta la infinitud de las líneas rectas y sólo se asume finitud, entonces con algunos ajustes menores en los otros axiomas, se puede obtener otra geometría consistente no-euclídea a partir de la hipótesis del ángulo obtuso, lo cual dio origen a la geometría de Reimman. El observó que esto se cumple si se interpreta la recta como un gran círculo sobre la superficie de una esfera.

Como dato clarificador vale la pena indicar que estas tres geometrías no son contradictorias : solo son diferentes, más o menos útiles al estudiar problemas específicos. El siguiente párrafo es bastante elocuente "... la estructura geométrica del mundo en el que vivimos no es homogéna. El macrouniverso parece explicarse mejor bajo la geometría hiperbólica, pero cuando se estudia la estructura molecular de la materia, la geometría Elíptica parece dar una mejor aproximación. La geometría euclideana sigue siendo la más simple y es el mejor instrumento disponible para explicar el mundo que nos rodea pero no para describir lo infinitamente pequeño ni lo infinitamente grande.''[11]



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