Geometría | Capítulo 1

 


 

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Tanto Lobachevski como Bolyai basaron sus deducciones en una nuevo postulado, que escrito en forma similar al axioma de Playfair podría enunciarse como:

"Dada una línea y un punto fuera de esta, existe más de una línea a través del punto paralela a la línea."

Una vez admitido este postulado se puede demostrar una serie de resultados muy interesantes. La idea de esta introducción, no es la de presentar la geometría hiperbólica, pero a modo de ilustración se presentan un par de resultados.  

   Teorema 1
Cualquier línea está contenida en el interior de algún ángulo.

 

Figura 1.2

Demostración:
Sea $l$ una línea recta y $P$ cualquier punto fuera de ella. Por el postulado de Lobachevski existen dos líneas $m$ y $n$ por $P$ paralelas a $l$. Sean $A$ y $A'$ en $m$ con $P$ entre $A$ y $A'$ y $B$ y $B'$ en $n$. Sea $Q$ cualquier punto en $l$.
Las líneas $m$ y $n$ separan el plano en cuatro regiones, que son los interiores de los ángulos $\angle APB, $ $\angle APB', $ $\angle A'PB, $ y $\angle A'PB'$ . Tanto $m$ como $n$ son paralelas a $l$, $Q$ no está en ninguna de ellas así que debe ser interior a alguno de los ángulos citados. Finalmente como uno de los puntos de $l$ está contenido en el interior de uno de esos ángulos y $l$ no interseca a $m$ ni a $n,$ toda la línea recta $l$ debe estar contenida en el interior de ese mismo ángulo.
 

   Colorario 1
Por un punto P fuera de una línea hay infinitas líneas paralelas a la línea.

Demostración:
Si nos ubicamos en la figura 1.2 de la prueba anterior y elegimos un punto $R$ en el interior del ángulo $\angle APB$, entonces la línea ${PR}$ está contenida, a excepción del punto P, en los ángulos $\angle APB$ y $\angle B^{\prime}PA^{\prime} $ y es imposible que se encuentre con $l$ que está totalmente contenida en $\angle A^{\prime}PB$. Por lo tanto la línea $PR$ es paralela con $l$, pasa por $P$ y hay infinitas posibilidades para el punto $R$.

Otro resultado es el hecho de que dos líneas paralelas no son equidistantes en todo lugar, en [4] se hace una discusión interesante al respecto.

Teoremas como éste, cuya confrontación con sus homólogos en la teoría euclídea nos sorprende, son frecuentes; de hecho la geometría de Lobachevski es tan amplia y completa como la euclídea. Para una introducción a esta geometría puede verse [12].



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