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Erastótenes o un gran

 

Vernor Arguedas T
Escuela de Matemática
Universidad de Costa Rica

 

 

Segundo sólo después de Platón quien era . Este gran erudito sin embargo, era primero en casi todo lo que emprendía. 

Contemporáneo de Arquímedes, con quien tuvo una gran amistad .

 Nuestro personaje nació en Cirene –hoy en día la ciudad Libia de Shahhat, en algún momento entre el 284 y el 276 a.c. Quizá fue de origen Caldeo.

Es interesante notar que algunos griegos famosos de la antigüedad son de origen africano, algunos de ellos son: Pitágoras, Euclides, Apolonio, Archimedes, Hipparchus, Sosigenes.


Lo que sí se conoce es que este griego extraordinario fue el tercer director de la célebre biblioteca de Alejandría, fundada por Ptolemeo I Soter. El lugar de la humanidad con más referencias, papiros y materiales de la antigüedad. Algunos fijan el 236 a.c. como la fecha en que se hizo cargo de esa gran institución. En ese puesto permaneció hasta su muerte entre el 195 o el 192 a.c .
Aparentemente fue el inventor de la palabra geografía, en todo caso hizo varias cartas marinas, así como varios mapas; en uno de ellos representaba el mundo conocido desde Gran Bretaña, al noroeste, la desembocadura del río Ganges, al este, y hasta Libia (Africa) al sur. Este mapa fue el primero en el que aparecieron líneas paralelas transversales para señalar los puntos con la misma latitud. En el mapa también aparecían algunos meridianos, pero éstos tenían una separación irregular.

 

 


Este matemático es posiblemente junto con Arquímedes, de los primeros en usar un cierto rigor en la aplicación de sus conocimientos . Quizá sea uno de los fundadores de la matemática aplicada rigurosa y experimental. Conocedor profundo de la trigonometría ptolomeica, escribió poemas, teatro y era un lector incansable, al ir perdiendo la vista y quedar ciego, decide morir. Suspende la ingesta de alimentos... Por cierto Goedel a la muerte de su esposa hace lo mismo.
Descubrió un método para determinar si un entero es primo, todavía se lo conoce y enseña como la criba de Eratóstenes, el nombre es muy gráfico pues la criba o zaranda sirve para 
obtener los números primos. Se zarandean los números y en el recipiente quedan los primos.


En http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Multiplos_divisores/criba.htm se puede encontrar como funciona este método, explicado de una manera muy clara.

Hay dos problemas en las que su papel fue muy destacado


a.  La determinación del radio de la tierra
b. Una construcción mecánica para la duplicación del cubo.

En http://personales.ya.com/casanchi/rec/eratos.htm se explica el razonamiento de Eratóstenes para determinar el radio de la tierra.


Eratóstenes conocía el hecho de que en la ciudad de Siene en Egipto (actualmente Assuan) el día que comienza el verano (21 de Junio) a mediodía, los objetos no proyectaban sombra alguna porque los rayos del Sol caían perpendicularmente, dato que encontró en la biblioteca de Alejandría.
La leyenda habla de un pozo cuyas aguas eran iluminadas al mediodía de este 21 de Junio. Sin embargo en la ciudad de Alejandría situada mas al Norte el Sol formaba con la vertical un ángulo que era 1/50 del ángulo completo.


La narración más completa sobre la determinación del meridiano terrestre realizada por Eratóstenes es también la más antigua, se debe al astrónomo Cleomedes –siglo I e.c- que nos dice que sus medidas se basaban en cinco hipótesis:

  1.  Siene y Alejandría se encuentran en el mismo meridiano.

  2. La distancia entre ambas ciudades es de 5.000 estadios.(unos 790Km.)

  3. Los rayos provenientes del Sol llegan a la Tierra paralelos, lo que equivale a            poner    al Sol a una distancia prácticamente infinita de la Tierra.

  4.  Las líneas que cortan a las rectas paralelas forman ángulos opuestos iguales.

  5. los arcos de círculo relativos a ángulos iguales son semejantes.

 

A lo anterior hay que agregar que mandó a una persona a recorrer y medir en número de pasos uniformes el trayecto entre Alejandría y Siene y que un 21 de junio el midió el ángulo de la sombra al mediodía en Alejandría, usando una varilla o gnomon.

En http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Cleomedes.html se puede encontrar una referencia a Cleomedes.

Los ángulos que forman los rayos de sol con la dirección de la estaca son: 

Siendo s y s’ la sombra de cada estaca sobre la línea meridiana en cada lugar. La longitud de la estaca es d en ambos casos. 

Si observamos ahora la figura 2 y nos fijamos en el triángulo que se forma, con ángulos a, a1 y 180-a2, donde a es el ángulo del arco de meridiano comprendido entre las posiciones que ocupan ambas estacas, y a1 y a2 son los ángulos que forman los rayos solares con la dirección de las estacas, vemos que, al sumar 180º los tres ángulos del triángulo es: 


a1 + 180 - a2 + a = 180, es decir: a1 – a2 + a = 0, o sea: a = a2 – a1 

 

Conocido el ángulo a, y la longitud L del arco de meridiano entre ambos puntos de colocación de las estacas, será posible, mediante una sencilla regla de tres, encontrar la longitud total, X, de la circunferencia del planeta: 

y, de aquí, el radio medio de la Tierra:

Si una de las dos estacas, en un determinado momento diera sobre la línea meridiana sombra nula, es decir, si en una de las estacas fuera cero el ángulo que forma la dirección de los rayos solares con la estaca, o, dicho de otra manera, si en uno de los dos lugares los rayos solares inciden perpendicularmente, entonces, se tendría que: 


a1 = 0, por lo cual a = a2 – 0 = a2, es decir, el ángulo, a, que corresponde al arco de meridiano terrestre comprendido entre ambas posiciones de las estacas, es, precisamente el ángulo, a2, que formarían los rayos solares con la segunda estaca sobre la línea meridiana. 

Este último hecho fue lo que utilizó Eratóstenes para hacer su medición. 

Eratóstenes midió la sombra sobre la línea meridiana producida por una estaca vertical en Alejandría, y conociendo la longitud de la estaca halló ese ángulo a la hora antedicha: resultó que el ángulo era de 7 grados (a2 = 7º). Ya sabia el ángulo del arco de meridiano entre Alejandría y Siena. Ahora faltaba conocer la distancia, a lo largo del meridiano, entre ambas ciudades, es decir, la longitud del arco L. Para ello Eratóstenes pagó a un hombre que hizo, a pié, tal medición. Eran, usando la medida usual en la época y en la zona, unos 4900 estadios, que equivaldría hoy ( a unos 6’125 estadios por kilómetro) a unos 800 kms. Estos números son un poco distintos a los de Cleomenedes

Con estos datos ya es inmediato el cálculo: 

Longitud de la circunferencia terrestre     
Radio medio del planeta 

 

Los datos , texto y dibujos anteriores se tomaron de http://personales.ya.com/casanchi/rec/eratos.htm
 
Indudablemente para Eratóstenes el planeta tierra no era plano sino esférico.
 
En http://www.inrp.fr/lamap/activites/projet/eratos_esp/trad_ouvr_cleom2-es.htm  se encuentra una traducción de Clomenedes, hecha por alguien que usa el seudónimo: Chaéréphon


Cleomedes De motu circulari corporum coelestium escrito en el siglo I d. C. Basándose en el texto editado por el Thesaurus Linguae Graecae (TLG), Chaéréphon propuso su propia traducción -al francés


Traducción propuesta por Chaéréphon :

Tal es el método de Posidonio acerca del tamaño de la Tierra. El de Eratóstenes depende de un método geométrico y, en mi opinión, es algo menos transparente. Su método será más claro si admitimos los supuestos siguientes. Admitamos como primer supuesto que Siena y Alejandría están situadas en el mismo meridiano, como segundo supuesto, que la distancia entre las dos ciudades es de 5.000 estadios y, como tercer supuesto, que los rayos procedentes de distintos puntos del Sol que inciden sobre distintos puntos de la Tierra son paralelos. En efecto, los geómetras admiten que estos supuestos son verdaderos.
Cuarto, admitamos que los geómetras demostraron que las rectas secantes de rectas paralelas forman ángulos alternos iguales y, quinto, que los arcos de círculo que descansan en ángulos iguales son idénticos, es decir que tienen la misma proporción y relación con referencia a sus círculos respectivos, todo lo cual también fue demostrado por los geómetras. Cuando efectivamente los arcos de círculo descansan en ángulos iguales, si uno cualquiera de ellos representa la décima parte de su círculo, todos los demás representarán la décima parte de sus círculos respectivos.
Aquél que guarde en su memoria estos supuestos podrá seguramente entender a fondo y sin dificultad el método de Eratóstenes tal como es.
Siena y Alejandría, afirma Eratóstenes, están situadas en el mismo meridiano. Siendo que los meridianos son los círculos más grandes del universo, los círculos de la Tierra que proyectan dichos meridianos serán también los más grandes de la Tierra. Por consiguiente, el tamaño de la circunferencia terrestre que pasa por Siena y Alejandría, que este método demostrará, será igualmente la circunferencia más grande de la Tierra. Eratóstenes dice, por lo tanto, y es cierto, que Siena está situada en el trópico del verano (esto es, el trópico de Cáncer). Por tanto, cuando el Sol entra en Cáncer y pasa exactamente por el cenit durante el solsticio de verano, los gnomones de los cuadrantes solares necesariamente no dan ninguna sombra, ya que el Sol se encuentra exactamente en la vertical. Esto es así, aparentemente, en un diámetro de 300 estadios (o sea en un radio de 24 km).
Pero en Alejandría, a la misma hora, los gnomones de los cuadrantes solares proyectan una sombra, ya que esta ciudad está situada más al norte que Siena. Como las dos ciudades están situadas en el mismo meridiano y en la circunferencia mayor, si trazamos un arco de círculo a partir del extremo de la sombra del gnomon hasta la base misma del gnomon del cuadrante de Alejandría, este arco de círculo será una parte del círculo mayor del cuadrante, puesto que la esfera del cuadrante está situada en el círculo mayor. Si, por lo tanto, a continuación, imaginamos unas rectas que atraviesan la Tierra a partir de cada uno de los gnomones, éstas se cortarán en el centro de la Tierra.
De esta forma, cuando el cuadrante solar de Siena está en la vertical del Sol, si imaginamos una línea recta que sale del Sol y llega a la punta del gnomon del cuadrante, esta línea recta saldrá del Sol y llegará al centro de la Tierra. Y si imaginamos otra línea recta que parta del extremo de la sombra del gnomon y una la punta del gnomon del cuadrante esférico de Alejandría con el Sol, esta última línea y la línea anterior serán paralelas, puesto que unen distintos puntos del Sol con distintos puntos de la Tierra. Por tanto, estas rectas, que son paralelas, son cortadas por una recta que va del centro de la Tierra hasta el gnomon de Alejandría, formando ángulos alternos iguales, el primero de los cuales se sitúa en el centro de la Tierra, en la intersección de las rectas que hemos trazado desde los cuadrantes solares hasta el centro de la Tierra y el segundo, en la intersección de la punta del gnomon de Alejandría y la recta trazada desde el extremo de su sombra hasta el Sol, pasando por su punto de contacto con el gnomon. Sobre este ángulo se apoya un arco de círculo que va del extremo de la sombra del gnomon a su base mientras que sobre el otro ángulo, que está en el centro de la Tierra, se apoya el arco que va de Siena a Alejandría. Estos arcos de círculo son, pues, idénticos entre sí, ya que están construidos sobre ángulos iguales. La relación que existe entre el arco del círculo del cuadrante esférico y su círculo es igual a la relación que existe para el arco de círculo que va de Siena a Alejandría. Ahora bien, encontramos que el arco del cuadrante es la quinta parte de su círculo (o sea, 7º 12'). Consecuentemente, la distancia que separa Siena de Alejandría ha de ser también la quinta parte del círculo mayor de la Tierra. Este arco de círculo es de 5.000 estadios. La circunferencia total mide, pues, 250.000 estadios. Tal es el método de Eratóstenes.
Eratóstenes coloca también cuadrantes en el solsticio de invierno, en cada una de las dos ciudades. Estos cuadrantes producen sombras, siendo la de Alejandría necesariamente más grande, ya que esta ciudad está más alejada del trópico de invierno (el trópico de Capricornio). Considerando el excedente de sombra observado entre Siena y Alejandría, encontramos que este excedente también corresponde a la quinta parte del círculo mayor de los cuadrantes. Es a partir de estos cálculos que sabemos que la circunferencia mayor de la Tierra mide 250.000 estadios. El diámetro de la Tierra medirá, por consiguiente, más de 80.000 estadios, ya que ha de ser igual a la tercera parte del círculo más grande.
Consecuentemente, aquellos que afirman que la Tierra no puede ser esférica a causa de las depresiones de los mares y las asperezas de las montañas, lo hacen de forma totalmente ilógica. No hay montañas que superen una altura de 15 estadios (2.475 m) ni mares más profundos. Treinta estadios comparados con 80.000 estadios no son nada (tienen una relación igual a cero); es exactamente como si hubiera un grano de polvo en una esfera. Las asperezas que se forman alrededor de las pequeñas bolas de los plátanos de sombra no les impiden ser pequeñas esferas. Sin embargo, la relación entre esas asperezas y la dimensión total de las bolas es mayor que las depresiones de los mares y las cimas de las montañas relativamente al tamaño total de la Tierra.


Comentarios y notas de Chaéréphon :

Estrabón y Eratóstenes :

"Eratóstenes sostiene que la Tierra habitada forma aproximadamente un círculo, que tiende a cerrarse sobre sí mismo, de tal forma que si la inmensidad del océano Atlántico no se opusiera, podríamos ir por el mar desde Iberia hasta la India. Bastaría con seguir un mismo paralelo y recorrer la sección que queda, o sea algo más del tercio de la circunferencia total, admitiendo un valor inferior a doscientos mil estadios (unos 36.000 km) en lo que se refiere al paralelo en el que se ha hecho la anterior repartición desde la India hasta Iberia." (Estrabón I, 4, 6-7)


"Eratóstenes formula también la hipótesis de que los setenta mi estadios aproximados (unos 12.500 km) que representan la longitud del mundo habitado valen la mitad del círculo entero sobre el que se tomó dicha longitud, o sea que, sostiene, si saliendo de occidente, navegásemos con viento este, al cabo de igual número de estadios, llegaríamos a las Indias." (Estrabón II, 3, 6)


La traducción anterior al castellano fue hecha por el grupo francés.
 
 
El conocimiento acerca de la solución mecánica para la duplicación del cubo se debe en gran medida a personas como Theón de Esmirna –siglo II de nuestra era.

En su libro Expositio rerum mathematicarum hace uso de la obra de Eratóstenes.
Desafortunadamente se perdieron los libros de Eratóstenes, sólo conocemos las referencias que hacen otros autores. Este material estaba en su libro Platonicus, un texto en el que trataba diversos temas de matemática.
El aparato inventado por Eratóstenes para la duplicación del cubo se llama mesolabio.
En el Centro Museo Universitario di Storia Naturale e della Strumentazione Científica de la Universidad de Modena e Regio Emilia se encuentra en la dirección electrónica
http://www.museo.unimo.it/theatrum/macchine/141sch.htm un mesolabio y la explicación de su funcionamiento-

 




El instrumento permite resolver de manera mecánica el problema de insertar dos medias proporcionales entre dos segmentos designados como DA y C"E
Consta de tres regletas rectangulares iguales ABCD, A’B’C’D’ y A"B"C"D" : la primera se desliza sobre la segunda, y esta sobre la tercera. Un hilo tenso (mediante un peso en un extremo) conecta los puntos A y E e interseca las diagonales A’C’ y A"C" respectivamente en F e G. Las regletas se colocan de modo tal que BC pase por F y B’C’ pase ppr G. Los segmentos FC y GC’ así obtenidos satisfacen la relación : DA:FC=FC:GC’=GC’:C"E.


 

Posiblemente Arquímedes y Eratóstenes lleguen algún día a ocupar el puesto que se merecen dentro del pensamiento occidental. Tal vez los incipientes modelos empírico matemáticos que ellos plantearon fueron demasiado para la ortodoxia de la época. Desafortunadamente por ese rechazo la tierra se volvió plana por muchos siglos...

 


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