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Arquímedes
 
María de la Paz Álvarez Scherer
Departamento de Matemática
Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM)


Arquímedes es conocido hoy como una de la más grandes figuras en ciencias y en matemáticas (particularmente en geometría) de la antigüedad. La misma gente de su época lo reconocía, llamándolo "el maestro'', "el geómetra'' y "el gran sabio'' . Nació en 287 (antes de nuestra era) en Siracusa, Sicilia, donde vivió casi toda su vida. Su padre era astrónomo y lo entusiasmo desde muy pequeño en el estudio del universo.Siendo su familia acomodada, el joven Arquímedes estudió en el centro científico y cultural más importante de la época, la famosa Alejandría. Mucho de lo que sabemos de él, lo debemos al historiador romano Plutarco (que nació poco antes del año 1 de nuestra era) y de lo poco que se rescató de la quema de la gran biblioteca de Alejandría y de los pocos (y a veces incompletos) escritos de la antigüedad que aún existen. Se conocen algunas anécdotas de él:


Se cuenta que Arquímedes dedicaba todo (\textexclamdownpero todo!) su tiempo a investigar....y que le molestaba perder tiempo en tareas tales como bañarse. Muchas veces sus amigos y sirvientes lo metieron a la tina gritando y pataleando y cuando se daba por vencido y se dejaba bañar, usaba su cuerpo enjabonado como pizarrón para seguir pensando en el problema que lo ocupaba. Una anécdota muy conocida de él, que relata el arquitecto romano Vitruvio, es la famosa "Eureka'' (que en griego quiere decir, "lo encontré''). Cuenta la leyenda que el rey Herón II de Siracusa le había dado a un orfebre una cierta cantidad de oro para que le hiciera una corona de oro puro. Cuando se la entregaron, el rey tuvo la sensación de que no era nada más oro lo que había sido usado. Le planteó la duda a Arquímedes y éste se dio a la tarea de resolver el misterio...y llegó la hora del baño. Esa vez lo aceptó sin chistar, pues estaba sumido en el problema de la famosa corona... y cuando se metió a la tina que estaba llena hasta el tope, se dio cuenta de que la cantidad de agua derramada, estaba relacionada a la cantidad de su cuerpo sumergida en el agua. Con la cara iluminada por la alegría, salió de la tina y desnudo, se fue por las calles de la ciudad "\textexclamdownEureka! \textexclamdownEureka!''. \textquestiondownCómo acaba la historia? Arquímedes sumergió la misma cantidad de oro puro que el rey había entregado al artesano y midió hasta dónde subía el agua; luego sumergió la corona y al medir hasta dónde subía el agua, resultó que era una altura menor. Como el volumen era igual,la única explicación era que tenían distintas masas; es decir, que la corona NO era de oro puro. El orfebre confesó que había quitado oro y agregado la misma cantidad de plata. No se sabe qué suerte corrió.


Hay otra anécdota sobre palancas y poleas. Arquímedes dijo alguna vez "dadme un punto de apoyo, y moveré el mundo'', refiriéndose a la palanca. Su amigo, el rey Herón, lo puso en duda. Entonces, Arquímedes pidió que en un barco pusieran la mayor cantidad posible de armamento y de gentes....y desde una silla, cómodamente sentado, sacó el barco así cargado del mar, usando un sistemas de poleas. Dicen que acto seguido, Herón publicó un edicto según el cual, de ese día en adelante, todo lo que Arquímedes dijera sería considerado verdadero.


Entre las obras más famosas de Arquímedes están: La Medición del Círculo, La Cuadratura de la Parábola, Sobre los Conoides y los Esferoides, Sobre la Esfera y el Cilindro (dos libros), Sobre el Centro de Gravedad de Figuras Planas, Sobre las Espirales, Sobre los Cuerpos Flotantes (dos libros) y Sobre el Método (manuscrito encontrado hace apenas 120 años) . En estas obras establece, entre otras cosas, los fundamentos del cálculo diferencial e integral que serían retomados por Cavalieri, Newton, Leibniz y otros. Arquímedes inventó además mecanismos como las poleas, el tornillo de Arquímedes que sirve para subir agua de un río, usó espejos para quemar las naves romanas que cercaban Siracusa, creó un planetario (movido por energía hidráulica) con el Sol, la Luna y los 5 planetas conocidos hasta entonces que tenía los movimientos de rotación y traslación de estos cuerpos y que incluso modelaban los eclipses de Sol. Sin embargo, según Plutarco, Arquímedes no daba gran importancia a estos inventos y por eso nunca escribió sobre ellos.


La muerte de Arquímedes: en 212, cuando Siracusa fue tomada por los romanos después de un largo sitio, Arquímedes estaba resolviendo un problema en el suelo, cuando un soldado romano se acercó a él y le ordenó levantarse e irle a presentar sus respetos al general romano Marcelo. Arquímedes, muy molesto porque el soldado había pisado su dibujo, le gritó "\textexclamdownNo arruines mis esferas!''...la reacción fue inmediata: el soldado lo mató. Marcelo, que había encargado explícitamente que no mataran a Arquímedes pues sabía de su fama de gran sabio, encargó que se le hiciera un funeral de honor.

En esta nota nos interesa el teorema que Arquímedes consideraba el más importante y bello de su obra:.el que pidió que fuera su epitafio. Él encontró que el volumen de una esfera es $\frac{2}{3}$ del volumen de un cilindro que lo circunscribe. En la lápida de su tumba se grabó el signo $\pi $ y la siguiente figura:

 

Figura 1.


\textquestiondownCómo llegó Arquímedes a este resultado? \textquestiondownCómo comparó el volumen de la esfera con el del cilindro que lo circunscribe? El cilindro, que es tangente a la esfera en sus bases y en el círculo central, tiene por base, al ecuador de la esfera y por altura el diámetro de ella. Para entender su método, vale la pena ver cómo comparamos el área de dos triángulos: Si éstos tienen la misma base y la misma altura, sabemos que tiene áreas iguales:

 

 
Figura 2. Estos triángulos tienen bases iguales y la misma altura
 

Estos dos triángulos y todos los triángulos que tengan esta misma base y esta misma altura altura tienen otra característica en común: Si tomamos una perpendicular a la altura (es decir, una paralela a la base) y nos fijamos en los segmentos que determina esa línea en cada triángulo, TODOS ESTOS SEGMENTOS SON IGUALES

 

Figura 3.
 

$P_{1}Q_{1}=P_{1}^{\prime }Q_{1}^{\prime },$ $P_{2}Q_{2}=P_{2}^{\prime
}Q_{2}^{\prime },$ $P_{3}Q_{3}=P_{3}^{\prime }Q_{3}^{\prime }$


Para experimentar con este concepto, se puede usar una caja de palillos de dientes. Formemos con al menos 30 palillos un rectángulo (la base de este rectángulo es precisamente un palillo)

 

Figura 4.
 

Ahora podemos mover, por ejemplo con ayuda de un lápiz, el lado del rectángulo formado por los extremos de los palillos y formar paralelogramos. Todos estos paralelogramos y el rectángulo original tiene la misma área, por tener igual base y altura, y tambien cumplen que cualquier línea perpendicular a la altura determina en cada figura segmentos que SON IGUALES. Todos son iguales a un palillo.


Pero podemos seguir moviendo el lado formado por los extremos de los palillos, sin que necesariamente sean recto el resultado. Por ejemplo, podemos tener figuras así

 

 
Figura 5.
 

Estas figuras, y todas las que se nos ocurra formar mientras respetemos que la base sea igual y tengan la misma altura, todas estas figuras tiene LA MISMA ÁREA. Su área es igual al "pedazo'' de plano que ocupan, y es igual al "pedazo'' de plano que ocupan los palillos con los que iniciamos el rectángulo. Esta propiedad, llamada PRINCIPIO DE CAVALIERI nos permite conocer el área de figuras que NO tienen lados rectilíneos por vía de compararlas con figuras que sí son rectilíneas o de las que sí conocemos su área. Bonaventura Cavalieri (1598-1647) publicó resultados usando este método y muy seguramente fue la misma idea que desarrolló Arquímedes casi 1500 años antes.


El principio de Cavalieri (o de Arquímedes-Cavalieri) también es válido en tres dimensiones. Para hacer la "traducción'' a tres dimensiones, tenemos que cambiar "longitud'' por "área''. Es decir:

 

Si dos sólidos tienen: a) por base figuras planas con la misma área, b) la misma altura y c) que cumplen que planos paralelos a la base determinan en cada cuerpo figuras planas que tienen la misma área; estos dos cuerpos tienen el mismo volumen.


Es decir, si tenemos dos sólidos y además de saber que el área de sus bases son iguales y que sus alturas son iguales, podemos mostrar que cada vez que tomemos una rebanada de cada uno ellos, cortada con plano paralelo a la bases (es decir, perpendicular a las alturas), esa rebanada tiene la misma área, si tenemos todo esto, podemos afirmar que estos sólidos tienen el mismo volumen.


Con estos elementos en mano, vamos por el resultado preferido de Arquímedes. \textquestiondownQué resultados estaban ya demostrados desde la época de Euclides? Que el volumen de un cilindro es igual al área de la base por la altura y que el volumen de un cono inscrito en ese cilindro es $\frac{1}{3}$ del volumen del cilindro. Empecemos por tomar una esfera de radio $r=1$ , un cilindro cuya base es un círculo de radio $r=1$ y cuya altura es $h=2r$ La esfera cabe exactamente dentro del cilindro; es decir, el cilindro circunscribe a la esfera. Si partimos a la esfera y al cilindro a la mitad y además insertamos un cono en el medio cilindro de forma que tenga por base la tapa del cilindro, obtenemos estas figuras:

 


Figura 6.


Recordemos que $r=1$. El volumen del medio cilindro es

$V_{C}=$ $\pi r^{2}\times r=$ área de la base $\times $ altura $=\pi $

El volumen del cono es

$V_{Co}=\frac{1}{3}V_{C}=\frac{1}{3}\pi $


La media esfera tiene la misma base que el medio cilindro y la misma altura. Si demostramos que cada plano paralelo a la base corta a la esfera y al cilindro menos el cono, en figuras de área igual, tendremos que

 

el volumen de la media esfera = volumen del medio cilindro $-$ volumen del cono


Veamos cómo corta un plano paralelo a la base a estos sólidos

 

Figura 7.


Estamos tomando un plano a altura $h$ del original. Si nos fijamos en las rebanadas en cada sólido, tenemos:

 

Figura 8.

Para poder calcular al área de cada rebanada tenemos que conocer $QR$ y $%
Q^{\prime }R^{\prime }$ . En la media esfera tenemos que $O^{\prime
}R^{\prime }=1$ , $O^{\prime }Q^{\prime }=h$ y tenemos además que es un triángulo rectángulo con ángulo recto $\measuredangle O^{\prime
}Q^{\prime }R^{\prime }$ . Usando el teorema de Pitágoras tenemos que

$Q^{\prime }R^{\prime }=\sqrt{(1-h^{2})}$


Ahora en el medio cilindro con el cono inscrito, tenemos que el triángulo $OQR$ es isósceles y que $OQ=OR=$ $h.$


La rebanada en la media esfera tiene área $A_{1}=\pi \times (1-h^{2}).$

$\bigskip $

$A_{2}$ es el área de la rebanada a la misma altura del cilindro menos el cono

$A_{2}=\pi -\pi h^{2}=\pi \times (1-h^{2})$

ES DECIR, EL ÁREA DE LAS REBANADAS A LA MISMA ALTURA, ES IGUAL.


Usando el principio de Arquímedes-Cavlieri, el volumen de la media esfera es igual al volumen del medio cilindro menos el cono. Pero el volumen del medio cilindro menos el cono es

$V_{C}-V_{CO}=\frac{2}{3}\pi =V_{C}-\frac{1}{3}V_{C}$

Tomemos ahora toda la esfera $E$ y todo el cilindro $C^{\prime }$ (al cual le inscribimos un cono simétrico). Tenemos que

$V_{C^{\prime }}=2\pi $ y $V_{E}=\frac{4}{3}\pi .$

Tomando la razón entre ambos volúmenes, tenemos, para finalizar esta nota, el epitafio de Arquímedes:



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