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El (todavía) sorprendente teorema de Pitágoras.
 
María de la Paz Alvarez Scherer
Departamento de Matemática
Universidad Nacional Autónoma de México
 
 
 

¿Qué de sorprendente tiene el teorema el teorema de Pitagóras hoy día?  A la autora de esta nota, aún le parece impresionante la fuerza de este teorema y de sus generalizaciones más conocidas: la ley de los cosenos y el teorema referido a otras figuras geométricas regulares. En esta nota se mostrará otra generalización que se refiere a triángulos cualesquiera y a paralelogramos cualesquiera.

Empecemos por una demostración del teorema de Pitágoras puramente geométrica:


Tenemos un triángulo rectángulo $\Delta ABC$. Construimos los cuadrado $ABGI$ y $ACDE$

El paralelogramo $ACVX$ tiene la misma área que el cuadrado $ACDE$ : los dos tienen base igual y la misma altura.

Pero $AX=CV=BW$, ya que son lados opuestos de paralelogramos. y $VTUC$ tiene la misma área que el $ACVX$ por tener igual base y la misma altura.

Como el triángulo $\Delta CDV$ $ \cong \Delta CAB$, $AX=CV=CI=YU$, y tenemos que el rectángulo $UCIY$ tiene la misma área que el $VTUC$

Análogamente, el paralelogramo $ABWX$ tiene la misma área que el cuadrado $ABGI$ ; y $BUTW$ tiene la misma área que $ABWX$ . Y el rectángulo $HYUB$ tiene la misma área que $BUTW$ .

Pero los rectángulos $VTUC$ y $BUTW$ forman el cuadrado de lado $CB$


El teorema que demostraremos ahora, es una generalización del anterior. Se debe al gran geómetra griego Pappus (320 AD).

Tomamos un triángulo cualquiera $\Delta ABC.$ Sobre dos de sus lados (por ejemplo, en los lados $AB$ y $AC)$ construimos paralelogramos cualesquiera, (en este caso el $ABGH$ Y EL $ACEF$ ) El tercer paralelogramo se construye así:


Se prolongan los lados de los paralelogramos construidos. Sea $I$ el punto de intersección de dichos lados; entonces. $AI$ tiene la magnitud y la dirección de los lados del tercer paralelograma; en este caso el $BCJK.$ . Es decir, $BK$ y $CJ$ son paralelos e iguales a $AI$ .

Esta generalización del Teorema de Pitágoras asegura el área de $%%
BCJK$ es igual a la suma de las áreas $ABGH$ y $ACEF.$ . Nótese que si el triángulo es rectángulo y los paralelogramos son cuadrados, tenemos (como caso particular) al Teorema de Pitágoras. La demosración de este teorema se basa exactamente en la que hicimos más arriba del de Pitágoras; es decir, en encontrar áreas iguales.


Construimos $KX$ y $JY$ , alturas de los paralelogramos $ABGH$ y $ACEF$ respectivamente.

El paralelogramos $ABGH$ tiene la misma área que el $ABLI$ , por tener base igual y la misma altura. Pero el paralelogramos $ABLI$ tiene la misma área que el $BNOK$ , por la misma razón: $LB=BK$ por construcción, y la altura $KX$ es común para los tres paralelogramos.

Análogamente, las áreas de los paralelogramos $ACEF$ , $ACMI$ y $%%
CNOJ $ son iguales.

De aquí tenemos que el paralelogramos $BCJK$ tiene área igual a la suma de los paralelogramos construidos sobre los otros dos lados.

 

 

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