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De las parábolas y sus tangentes.
 
Departamento de Matemáticas
Facultad de Ciencias
UNAM (México)
 

Las cónicas tienen propiedades de tangencia (relacionadas a sus propiedades ópticas) muy importantes y bien conocidas. La idea de esta nota es explorar la construcción de una parábola a partir de ciertos elementos y, en este contexto, revisar las propiedades de sus tangentes.

Dadas 4 líneas, construir la parábola que las tenga como tangentes.

Antes de resolver este problema, recordemos su definición como lugar geométrico: una parábola es el lugar geométrico de los puntos $%
\mathcal{P}$ tales que su distancia a un punto fijo dado $\mathcal{F}$ es igual a su distancia a una línea fija dada $d$. Al punto se le llama foco y a la línea directriz.

 

 

En la figura, $P^{\prime }$ es un punto en $d$ y la línea roja $t$ es la mediatriz de $FP^{\prime }$; es decir, la línea roja es el lugar geométrico de los puntos que están a la misma distancia de $F$ y de $%
P^{\prime }.$Trazamos la perpendicular a $d$ en $P^{\prime }$ y sea $P$ el punto donde dicha perpendicular corta a $t$ .Hemos encontrado un punto $%
\mathcal{P}$ en $t$ que está a la misma distancia de $\mathcal{F}$ y $d$. (pues la longitud de $PP^{\prime }$ es la distancia entre $P$ y $d$).

Más aún, sobre la línea $t$no hay ningún otro punto que satisfaga estar a la misma distacia de $F$ y de $d$. Es decir, $t$ es una tangente de la parábola. Recordemos que a la línea $%
t$ la construimos como la mediatriz entre $\mathcal{F}$ y $P^{\prime }$ y de $P^{\prime }$ sólo sabemos que está sobre la línea $d$.

De esta construcción podemos ver también una propiedad óptica de la parábola: Recordemos que la luz, al ser reflejada en un espejo "rebota" en él con el mismo ángulo con el que entró (o sea, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión). Si pensamos que la parábola es un espejo y lanzamos un rayo de luz desde el foco, éste al chocar en $P$ con la tangente de la parábola, "rebotará" con un ángulo igual al de entrada, \textexclamdownpero ese ángulo es precisamente el que forma $PP^{\prime }$ con $t$! También sucede que si mandamos rayos de luz paralelos al eje de la parábola, estos "rebotarán" en la tangente y todos serán mandados al foco de la parábola.

 

Todavía antes de pasar al problema planteado, y utilizando la forma en que construimos a las tangentes de la parábola, podemos construir una parábola con doblado de papel. La idea es tomar un punto (que será el foco $\mathcal{F}$) y una línea (que será la directriz $d$) y haciendo coincidir $\mathcal{F}$ con un punto de la línea doblar, así se construye la mediatriz entre $\mathcal{F}$ y el punto de la línea $d$. Así se construye una tangente. Repitiendo este doblado un número suficiente de veces, obtendremos esto:

 

 

En la figura anterior queda esbozada una parábola. La siguiente figura nos muestra a la parábola formada por los puntos $P$ que construimos en el primer dibujo.

 
 

Regresemos al problema planteado. Necesitamos algunas relaciones entre 2, 3 y 4 tangentes de una parábola. Fijémonos primero qué pasa en el punto de intersección de dos tangentes.

 

 

Como $K$ está en la intersección de dos tangentes, y cada tangente es mediatriz ($t_{1}$ de $\mathcal{F}Q$ y $t_{2}$ de $\mathcal{FS}$ respectivamente) $FK=FQ=FS$.

Es decir, podemos trazar una circunferencia con centro en $K$ que pasa por $%
P $ ,$Q$ y $S$ .

 

 

Esto nos será de importancia pues en algún momento de la construcción necesitaremos encontrar a la directriz y el círculo que tiene centro en $K$ corta a $d$ en $Q$ y $S$. Pero además, en esta figura, tenemos la igualdad entre varios ángulos:

 

 
 

Los ángulos $\measuredangle FP^{\prime }Q^{\prime }=\measuredangle
FTQ(=\alpha ),$ porque $\measuredangle FTQ$ es la mitad del ángulo central determinado por el arco $\ FQ^{\prime }.$ Análogamente, $%
\measuredangle FQ^{\prime }P^{\prime }=\measuredangle FTP(=\beta ),$ y los ángulos $\measuredangle P^{\prime }FP=\measuredangle TFQ^{\prime
}(=\gamma )$ por ser ambos complementarios del ángulo $\alpha $ . Finalmente, los ángulos $\measuredangle P^{\prime }FQ^{\prime
}=\measuredangle PFT$ $(=\delta )$ porque ambos son $\gamma +\measuredangle
PFT.$ Así tenemos que, por la suma de los ángulos interiores de un triángulo, $\alpha +\beta +\delta =180{{}^\circ}%
.$

\textquestiondownQué sucede cuando tenemos tres tangentes? Si trazamos el círculo que circunscribe al triángulo formado por la tres tangentes, este círculo pasa por $\mathcal{F}$, el foco de la parábola.

 

 
 

Para demostrar la afirmación anterior basta con repetir el argumento de la igualdad de ángulos para las tres circunferencias (una por cada intersección de dos tangentes) y tenemos que $\measuredangle
FSR+\measuredangle RTF=180^{%
{{}^\circ}%
}=$ $\alpha +\beta +\delta ,$ lo cual es una condición suficiente para asegurar que el cuadrilátero $SRTF$ es inscriptible.

 

 

\textexclamdownFinalmente podemos resolver el problema original! Todo esto empezó porque queríamos trazar una parábola dadas 4 de sus tangentes.

 

 
 

Las líneas dadas deben ser adecuadas en el sentido de que si nos fijamos en los 4 triángulos que forman estas tangentes, los circulos que circunscriben a estos triángulos tienen una punto en común (que será el foco de la parábola buscada):

 

 

Para construir la parábola:

1.- tenemos que encontrar el foco. Para ello, tracemos el círculo que circunscribe a dos de los triángulos formados por las tangentes. Un vértice de estos triángulos será punto común de los círculos, y el otro punto de intersección será, precisamente, el foco:

 

 
 

2.- tenemos que encontrar la directriz. Para ellos usaremos que los círculos con centro en puntos de intersección de tangentes, pasan por el foco (así tenemos el radio) y pasan por los pies de las perpendiculares en la directriz, de los puntos de tangencia correspondientes. Con encontrar dos de estos puntos, podremos trazar la directriz, pero como van a ser intersecciones de círculos con un punto en común ( $F$ ), necesitamos tres de ellos; es decir, tendremos tres puntos de la directriz de la parábola buscada:

 

 

Y finalmente, tenemos la parábola buscada:

 

 

y, así, se acaba esta nota.



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