Ejemplo: límite e integral impropia.

Cálculo del área bajo la curva y  =  (e^(-(x^2)/2)) en el intervalo [0, ∞[.

Needs["Graphics`Colors`"];
Needs["Graphics`FilledPlot`"]

f[
        x_] := (E^(-(x^2)/
            2))

g1  =  
        Plot[f[x], {x, -3, 3}, 
          AspectRatio -> 
            Automatic, 
Ticks -> {Automatic, {0.5, 
                1}}, PlotStyle -> {Blue}];

Para cada t, el área bajo la curva  y  =  f(x), entre 0 y t, es dada por:

F[t_]  :=  (∫_0^t) f[x] \[DifferentialD]x

Limit[F[t], t -> ∞]

Con el último comando se verifica que \(TraditionalForm\`∫\_0\%∞\( e\^\(\(-x\^2\)/2\)\) dx\  = \ \@\(π/2\)\).

g2  = 
        FilledPlot[f[x], {x, 0, 3}, Fills -> {Cyan}];

Show[g1, g2];