Polinomios de Taylor

La expansión de una función f(x), como serie de potencias, alrededor de un punto a y hasta la potencia n, es dada por el comando Series[f[x],{x,a,n}]:

Clear[f, a];
Series[f[x], {x, a, 4}]

La primera parte, excluyendo el término O[x - a]^5, corresponde al polinomio de Taylor de grado 4, el cual se obtiene aplicando al resultado anterior la orden:

Normal[%]

Consecuentemente, la siguiente función calcula el polinonimio de Taylor de grado n para una función  f(x), alrededor de un punto (Subscript[x, 0]).

Taylor[exp_,  {x_,  x0_,  n_}]  :=  
      Normal[Series[exp, {x, x0, n}]]

Taylor[Cos[x], {x, 0, 10}]

El polinomio de Taylor (Subscript[P, n])(x), de grado n, tiene la característica de que sus primeras n derivadas coinciden con f(x) en a, es decir:
        (Subscript[P, n])(a) = f(a),   (Subscript[P, n])' (a) =  f' (a),  ⋯ ,  ((Subscript[P, n])^((n)))(a)  =  (f^((n)))(a).

T5[x_]  =  Taylor[f[x], {x, a, 5}]

D[T5[x] , x]

% /. {x -> a}

Table[D[T5[x], {x, n}] /. {x -> a}, {n, 1, 5}]

\(En\ las\ anteriores\ órdenes\ observe\ \(que : 
\ \ \ D[
              T5[x], {x, n}]\) = \(T5\^\((n)\)\) \((x)\)\ \ \ \ y\) 
         D[T5[x], {x, n}]  /.  {x → a} = (T5^((n)))(a).

Esta coincidencia del polinomio de Taylor y sus derivadas con la función, en el punto a, provoca un comportamiento del polinomio muy similar al de la función, en todo un vecindario al rededor de a:

Needs["Graphics`Colors`"]

PlotTaylor[f_, {x_, a_, b_}, {x0_, n_}, Opc___]  :=  
      Module[{T}, 
T[t_]  =  
          Taylor[f[t], {t, x0, n}]; 
    Plot[{f[x], 
            T[x]}, {x, a, b}, Opc]]

PlotTaylor[
      Cos, {x, 0, 2  π}, {π, 
        5}, 
PlotStyle -> {Blue, Red}]

Do[PlotTaylor[
        Cos, {x, 0, 2  π}, {π, 
          n}, 
PlotStyle -> {Blue, 
            Red}, 
PlotRange -> {-1.1, 4.1}], {n, 
        1, 6}]