Sobre la Probabilidad, lo Aleatorio y su Pedagogía
Félix Núñez , Geovany Sanabria
, Paulo García .
Resumen Con el presente trabajo se pretende justificar la importancia de la teoría de las probabilidades en nuestra sociedad con el afán de establecer la necesidad de su incorporación en los programas de estudio de la Enseñanza General Básica de nuestro país, como sí lo han hecho otros países. Palabras clave: Aleatorio, pedagogía, probabilidad, incertidumbre, azar. La teoría de la probabilidad es una de las ramas de la matemática con
varias aplicaciones en nuestra actualidad. Por medio de ésta se abordan
el cálculo de las primas de los seguros, los riesgos nucleares, los pronósticos
económicos, políticos y del tiempo. En las últimas décadas, esta ciencia de lo aleatorio ha adquirido mayor
relevancia que en las anteriores, hasta el punto de que muchos autores,
entre ellos Dacunha (1996), han propuesto la necesidad de que todo
ciudadano posea una base sólida en probabilidad y estadística, que le
permita comprender, juzgar y criticar la avalancha de información que los
medios de comunicación le brindan día con día. Hay consenso de que los
ciudadanos tienen el derecho y el deber de dudar sobre lo que se les está
informando, de lo contrario podrían ser víctimas de las intenciones de
manipulación, que un determinado estudio sobre algún tema en particular,
tiene como finalidad, pero también hay conciencia de que la tarea es titánica.
Lo anterior se ha dado con más o menos frecuencia en Costa Rica. En los
días previos a la elección presidencial de 1994, se publicaron en
algunos medios de comunicación resultados de encuestas que favorecían al
candidato Miguel Ángel Rodríguez. Los simpatizantes de los otros
partidos políticos, en particular los seguidores de José Miguel Corrales
pronto se fueron dando por vencidos. En las calles, los comentarios de la
gente eran simplemente una continuación más del discurso de las columnas
periodísticas. La apatía de unos contrastaba con la alegría de los
otros. Incluso el propio día de la elección se brindaron resultados que
favorecían por mucho al virtual ganador, generando como resultado que los
liberacionistas se dieran por vencidos antes de tiempo. Cuando se
contabilizaron los votos, la diferencia no fue tan significativa, de lo
que se infiere que si los perdedores hubieran hecho caso omiso al
resultado de las encuestas, o mejor todavía, si hubieran tenido una
cultura más o menos deseable del mundo de lo aleatorio, habrían sido
capaces de dudar de los resultados de las encuestas. De pronto se
preguntarían por el tamaño de la muestra, la dispersión de los datos,
las técnicas que se usaron para el análisis de los mismos, el error de
medición, etc. Dacunha (1996) lo dice
muy bien: “El estado, las empresas, la prensa nos presentan los datos recogidos,
organizados y resumidos por ellos; del estado administrativo de la
recolección de datos, pasamos al estado mediático y a la utilización
política.” Hace falta, dice él, una deontología de estas disciplinas, pero también,
una educación de la ciudadanía en tópicos relacionados con conceptos
que tienen que ver con la estadística y el cálculo de probabilidades. El
desvío ideológico que puede tomar la estadística en manos de grupos
inescrupulosos puede ser tan letal como cualquier cáncer social. En efecto, en 1994 circuló por los Estados Unidos un libro titulado The
belle curve, “la curva en campana”. En este texto, dice Dacunha, se
pretende probar a través de pruebas estadísticas que el cociente
intelectual, revisado y corregido, es definitivamente hereditario. Un uso
que se le podría dar a este resultado tendría que ver con la eliminación
de ciertas ayudas que se hacen en el África.
Lo más triste de todo esto es que ni siquiera hubo una reacción
del pueblo norteamericano en torno a la veracidad de tales pruebas. Surge, entonces, la imperiosa necesidad de instruir a nuestros
estudiantes en tales temas. El costarricense es crítico por excelencia,
pero no muy riguroso. Para criticar la realidad que lo circunda, se le
debe de dotar de conocimientos necesarios sobre los cuales sustentará sus
conjeturas de que algo anda mal en el caso de que así lo sea.
Cada egresado de la Enseñanza General Básica debería ser capaz
de entender y cuestionar la información y “análisis” de datos que se
le ofrecen, con gráficos incluidos, acerca de un determinado estudio. No obstante, la pregunta que salta a la vista es ¿cuáles son esos
conocimientos que le permitirán cuestionar esa realidad?
En la práctica, se puede citar a manera de ejemplo el esfuerzo que
ha realizado el Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas
(NCTM por sus siglas en inglés) de los Estados Unidos de Norteamérica por establecer los estándares de la
educación matemática para primaria y secundaria en el año 2000. Dentro
de esta propuesta planteada por docentes, hay un apartado sobre el análisis
de datos y la probabilidad. Es muy interesante lo que allí se plantea, y
más adelante disertaremos sobre ello. Por
otro lado, en nuestro país, las aplicaciones de la teoría de la
probabilidad en la enseñanza media se han quedado en un simple anhelo de
los que las consideran relevantes, lo que refleja nuestra condición de país
subdesarrollado en materia educativa.
Amén de esto, los medios de comunicación no son cuidadosos en la
recolección, análisis y presentación de los datos al público, y de
acuerdo con el estudio de algunas noticias realizadas en el curso de
Probabilidad correspondiente al plan de Maestría en Matemática, con énfasis
en Matemática Educativa, de la Universidad de Costa Rica, muchas carecen
de seriedad. Hacen falta en la mayoría de los casos fundamentos
importantes que orienten al lector hacia una formación de juicios de
valor, construidos sobre bases reales. En resumen, no se cuenta con una cultura de lo aleatorio,
indiscutiblemente necesaria para el bienestar de cualquier nación.
Lejos de inculcarla, se evade como si fuera un ente imperfecto que
se sale del carácter exacto que tienen las matemáticas. Este ensayo intenta brindar una reflexión pedagógica sobre la gran
importancia que tiene la teoría de las probabilidades en los países de
mayor desarrollo y de cómo contrasta con el desinterés que existe en el
nuestro hacia ella. En la primera parte se ofrecen algunas de las principales aplicaciones de
la teoría de probabilidades. En la segunda parte, se expresan las ideas más
generales sobre la pedagogía de lo aleatorio. En una tercera parte, se analiza nuestra realidad en torno a la
probabilidad, complementado por los objetivos establecidos en el seno de
la NCTM para la enseñanza de la probabilidad. Y finalmente, se ofrecen
pautas y recomendaciones para la enseñanza de la misma. I PARTE
Algunas aplicaciones de la probabilidadUno de los campos en donde se pueden ver muchas utilidades de la matemática
es en el de las probabilidades. En muchas ocasiones escuchamos quejarse a
los ciudadanos de que la matemática para lo único que sirve es para
romperle la cabeza a cualquiera que se atraviese en su camino. La afirmación
anterior no deja de tener sentido, en tanto que la forma en que se le
presentan a los conceptos a los estudiantes se hace en una forma
totalmente aislada de la realidad y completamente acabada. Cuando el
alumno o alumna pregunta a su profesor para qué le va a servir lo que se
le está enseñando, la respuesta por lo general es confusa y evasiva. La
desmotivación entonces salta a la vista, sobre todo en aquellos que todavía
no han logrado apreciar los conceptos matemáticos. Si bien la
probabilidad no es la panacea para arreglar el actual estado de las cosas,
puede fungir como enganche entre nuestra disciplina y la atención de los
jóvenes, enseñándoles a criticar el mundo que los rodea con una base sólida
en materia de probabilidades y estadística. Existen muchas aplicaciones de la probabilidad en diversos campos del
quehacer humano y es interés nuestro mencionar algunos de ellos. Microbiología
Los que realizan pruebas de paternidad se basan en el teorema de Bayes.
Se toman muestras de sangre de la madre, presunto padre e hijo(a). Con
estas muestras se hace una extracción del material genético y con él se
realizan por lo menos diez reacciones en cadena de la polimerasa con diez
marcadores genéticos de diferentes cromosomas. Con estos marcadores y
otros datos se realiza el cociente de la regla de Bayes y se puede
establecer con un 99.99% de probabilidad en la asignación de una
paternidad. Lo mismo ocurre en el caso de que se quiera determinar si un hombre abuso
sexualmente o no a una determinada mujer. La ley de los grandes números
En
una ocasión se le consultó a un matemático sobre el número que tenía
mayor probabilidad de salir en un sorteo navideño en un determinado año.
Este pidió que se le enviaran los sorteos de los últimos diez años y se
dio cuenta de que los números que menos habían salido estaban entre el
60 y el 70. En teoría se sabe que todos los números en condiciones
normales tienen la misma probabilidad de salir premiados. Así que, para
que eso se cumpla y todos tengan la misma probabilidad de salir, el número
por el cual estaban preguntando debería estar en el rango encontrado. El
matemático optó por el 65 y en efecto salió premiado. Por supuesto que
no acertó la serie, eso es aún más difícil, pero algo se ganó. De
eso se trata la ley de los grandes números.
Esta idea expresa la idea de que si se repite un experimento un
gran número de veces, la frecuencia con que aparece un determinado evento
debería converger a la probabilidad teórica del mismo. Cuando
se lanza una moneda varias veces, se sabe que la probabilidad de que salga
cualquiera de las dos caras es de 0.5. Esto si se hace un número
considerable de veces. Por eso si se lanzara 1000 veces y de ellas salen
700 escudos y 300 corona, se espera que en el lanzamiento 1001 el
resultado obtenido sea corona, porque las frecuencias deben irse
equilibrando. Los
seguros
Las
primas de los seguros que un individuo debe pagar por su casa o auto son
calculadas con base en estimaciones de riesgos, que aunque por lo general
son un tanto sobreestimadas, ya no son tan especulativas como cuando
empezaron a tomar forma. No obstante los individuos desconocen el
procedimiento del cálculo de tales primas y se limitan a pagar lo que se
les cobra. Los
eventos raros
Aunque la palabra raro denota extraordinario, no se
puede dar una respuesta universal a preguntas tales como ¿qué es un
acontecimiento raro?, ¿cuál es la probabilidad de que suceda? o ¿qué
es un acontecimiento prácticamente imposible?.
No obstante, en la práctica es necesario estudiar la posibilidad
de estimar la probabilidad de que sucedan tales acontecimientos.
Por ejemplo, si se desea construir un puente sobre un río, es
necesario hacer uso de los registros de lo más alto que ha llegado el
nivel del agua en cualquier condición en ese río.
Así que se construye el puente a una altura superior a ese máximo
obtenido a través de la observación.
No obstante, un evento raro puede ocurrir, como por ejemplo un
huracán, y hace que el río se desborde. Es necesario entonces calcular
esa ínfima probabilidad incluso con simulaciones vía computador, para
estimar mejor la altura de construcción del puente.
Estos eventos no siguen el patrón de la ley de los grandes números.
En este sentido, la matemática juega un papel importante en la
estimación de estos riesgos que por lo general tienen que ver con la
salud, ambiente, seguridad de instalaciones, etc. II PARTE
Pedagogía de lo aleatorio.En uno de estos días nos dirigimos a una de las librerías más
populares de San José. Preguntamos a uno de los muchachos que atendían,
por un libro que tuviera que ver con el azar y lo aleatorio. El joven
frunció el entrecejo como diciéndonos: no sé de qué me están
hablando. Le volvimos a decir que era un tema relacionado con lo
aleatorio. ¿De qué se trata?, volvió a preguntar, ¿de filosofía?. No,
le dijimos, y fuimos a buscar por nuestra propia cuenta. Si una persona que trabaja en una librería no tiene ni la menor idea de
lo que significa aleatorio y azar, cómo esperamos que pueda entender las
estadísticas de los diarios sobre temas variados como: la intención de
votos de los ciudadanos, la eficacia de un medicamento contra una
enfermedad, el número de desempleados, etc. Es necesario, insistimos en
una pedagogía de lo aleatorio. Andradas (2002) dice que: “los juegos de azar forman parte de nuestro
acervo cultural, y las expresiones que indican el grado de certeza de un
suceso forman parte de nuestro lenguaje cotidiano”. En las sociedades se habla de la “posibilidad de obtener el premio
mayor de la lotería", de posibilidades de ser asaltados al salir de
un banco, etc. También se
recurre a menudo a los sorteos o cualquier método aleatorio para decidir
cuestiones como la conformación de un jurado popular, admisión en
centros escolares, selección de un miembro de un grupo que le corresponde
exponer el capítulo Y de un libro... La
teoría que justifica y regula los fenómenos aleatorios es la
probabilidad y es la que nos dice qué tan justo es un proceso como los
mencionados anteriormente. Ella
explica el comportamiento del azar. Recordemos que un fenómeno es
aleatorio si no se puede saber con certeza el resultado.
Andradas (2002) opina que la probabilidad es capaz de predecir el
comportamiento de fenómenos de masas con una precisión extraordinaria,
de ahí la importancia de que los individuos se familiaricen con estos
conceptos. La probabilidad es bastante intuitiva, y a los jóvenes les debería
causar una cierta motivación el relacionarse con estos conceptos. Nadie
duda que si tiramos un dado, la probabilidad de sacar 3 es 1/6. Aunque
experimentalmente habría que tirar una cantidad enorme de veces el dado
para poder apreciar el número esperado. Si aún así no se lograra ver el
valor esperado, el jugador podría sospechar que el dado está cargado. La relación que existe entre la sociedad y la incertidumbre es muy
fuerte. Basta ver la forma en que nace el primer estudio sistemático de
la probabilidad. En 1654, en Francia, un jugador, Meré planteó a Pascal un problema como
el siguiente: Los jugadores X y Y apostaron una cierta cantidad de dinero.
El jugador que llegue primero a cinco puntos, gana. Esto es, se lanzan dos
dados, si X obtiene una suma mayor o igual que siete, obtiene un punto, si
no, el punto es para Y. Por alguna razón, los jugadores se ven obligados
a dejar el juego, justo cuando X lleva ganados cuatro puntos y Y apenas
tres. ¿Cómo se debe repartir la apuesta?. Pascal solucionó el problema concluyendo que se debería repartir la
apuesta proporcionalmente a la probabilidad que tenía cada uno de ganar
el juego. Pascal calculó:
Luego escribió a Fermat tanto acerca del problema como de la solución.
De esta manera se dio paso a una de las más fascinantes teorías de las
matemáticas: La probabilidad. Si presentáramos a los y las estudiantes un poco de historia de los
conceptos que se van a adquirir, probablemente captaríamos su atención e
interés. Si fuéramos más allá de la necesidad con que surge una determinada
teoría, como es el caso de la probabilidad, tendríamos situaciones de
aula aún más entretenidas y provechosas. Hoy por hoy, el uso del cálculo
de las probabilidades es esencial para apoyar o refutar las acusaciones en
la corte. Andradas (2002) nos comenta el siguiente ejemplo: En el escenario de un
crimen hay manchas de sangre que corresponden a un grupo sanguíneo que únicamente
se encuentra en un 1% de la población. Se tiene a un sospechoso con ese
grupo sanguíneo. El fiscal dirá que es el culpable puesto que si la
sangre viniera de otra persona, ocurriría con una probabilidad del 1%,
por lo que el acusado tiene una probabilidad del 1% de ser inocente, o sea
un 99% de ser culpable. El razonamiento del fiscal es por supuesto
incorrecto. Confunde p(tiene grupo sanguíneo en cuestión
| ser inocente) con Estas y otras discusiones podrían exhibirse en aras de establecer nuevos
conceptos. El teorema de Bayes no debería enunciarse sin antes mencionar posibles
aplicaciones. Se sabe que
actualmente constituye una parte invaluable de los controles de calidad en
los procesos de fabricación, de aquellas empresas que desean calcular una
cierta probabilidad a futuro, utilizando información pasada del resultado
del experimento.
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