Notas

1. algoritmo: m. conjunto ordenado y finito de operaciones que permite hallar la solución de un problema [2]

 
2. La demostración rigurosa de esto es por inducción matemática. Deseamos demostrar que, para cualquier entero $n \geq 1$, $10^n -1$ es divisible por 9 (lo cual significa que cada término en la suma de $D$ es divisible por 9). Evidentemente esto es cierto en el caso $n=1$, porque $10^1-1=9$. Asumamos ahora que es cierto si $n = m$, para algún valor entero arbitrario de $m$. En ese caso tenemos que $10^{m+1} -1 = 10 \times 10^m -1 = (10^m -1) + 9 \times 10^m$. Vemos inmediatamente que $9 \times 10^m$ es divisible por 9. Por lo tanto si $10^m-1$ es divisible por 9, entonces $10^{m+1} -1$ también debe serlo. Esto completa la demostración.

 
3. Claramente no importa si, en lugar de sumar los dígitos en posición impar y restar los dígitos en posición par, sumamos los de posición par y restamos los de posición impar, porque si el resultado de la primera operación arroja el número $P$, el resultado de la segunda arroja $-P$. Y $P$ es divisible por un número $n$ si y solo si $-P$ también los es. Lo importante al aplicar la regla es alternar entre suma y resta de un dígito al siguiente.

 
4.

Nuevamente, la prueba es por inducción matemática. Deseamos demostrar que $10^n - (-1)^n$ es divisible por 11, para cualquier entero $n \geq 1$. Esto es cierto en el caso $n=1$, ya que $10^1 - (-1)^1 = 11$. Asumamos ahora que es cierto para $n=m$.

En el primer paso simultáneamente sumamos y restamos la cantidad $10(-1)^m$. Como $11(-1)^m$ es divisible por once y asumimos que la cantidad entre paréntesis cuadrados, $10^m -(-1)^{m}$, es divisible por 11, entonces $10^{m+1} -(-1)^{m+1}$ también debe serlo. Esto completa la demostración por inducción.  
5. El lector especialmente perspicaz e informado notará que esto implica que si escribimos $N$ en la base $b$, es fácil formular reglas de divisibilidad para $b$, $b-1$, $b+1$ y los divisores respectivos de esos números. Los lectores avanzados de este artículo quizás desearán corroborar eso en el caso general, usando como punto de partida las demostraciones que hemos ofrecido en el caso de $b=10$, que corresponde a la notación decimal ordinaria.

 
6.  Para aquellos que lo hayan olvidado, un número primo es aquel entero que solo es divisible por 1 y por sí mismo.

 
7. El lector perspicaz se habrá percatado que hemos introducido en la lógica de las reglas de divisibilidad la pequeña variación de de escribir $N=t\times P + D$. Este método para saber si $N$ es divisible por $n$ funciona si 1 es el máximo común divisor de $t$ y $n$. Como en este caso específico $n=7$ es primo, cualquier valor de $\vert t \vert < \vert n \vert$ que nos diera un $D$ divisible por $7$ hubiera sido aceptable. El valor indicado para $n=7$ fue, como hemos visto, $t=3$.

 
8. El lector interesado puede demostrar, como ejercicio, que este número $s$ siempre existe, para cualquier $n$ que cumpla las condiciones que acabamos de especificar.