Trabajando con isoclinas y dibujando soluciones de Ecuaciones 
Diferenciales en el Geómetra Sketchpad ®

Luis Ernesto Carrera Retana
Profesor de la Escuela de Matemática
Instituto Tecnológico de Costa Rica

Introducción

Calculando el valor de la pendiente en un punto

Las isoclinas o campo de direcciones es una forma numérica y geómetrica de mostrar la solución de ecuaciones diferenciales de primer grado de la forma .

El procedimiento en Sketchpad consiste en:

1. Tener la función , por ejemplo . El problema en el Geómetra, es que no se pueden escribir funciones en dos variables. Así que por ahora nos brincaremos este paso.
   
2. Colocar un punto P en el plano
   
3. Determinar por separado las coordenadas de P, (seleccionar el punto P y MedirAbscisa y MedirOrdenada), llamándolas x₁ y y₁ (utilice las propiedades de las mediciones para cambiar el rótulo).
   

4. Determinar . Este es el valor de la pendiente en este punto. Observe que lo único que hay que hacer es evaluar la función g(x, y) en las coordenadas del punto. Para ello en Medir Calcular, haga click sobre x₁, haga click sobre el símbolo suma y haga click sobre y₁.
   

   Modifique finalmente el nombre del cálculo realizado en propiedades.

5. Ahora, se debe dibujar un segmento de recta con la pendiente dada en el punto anterior.

Dibujando una pendiente

Como lo que se quiere dibujar es un segmento de recta, podemos hacer uso de la ecuación y = mx + b. Ya tenemos el punto (x₁, y₁). Debemos determinar el punto (x₂, y₂). El valor de x₂ estaría determinado por el tamaño del segmento que queremos dibujar, así podríamos definir x₂ = x₁ + D_x, con D_x definido como un parámetro ( Graficar Nuevo parámetro...) para poder cambiar el tamaño en caso de ser necesario. Por el momento podríamos definir D_x = 0.1.

Faltaría determinar el valor de y₂, que estaría dado por y₂ = m ^. x₂ + b. Pero primero debemos calcular el valor de b, el cual se determina despejando de y = mx + b, y utilizando los puntos x₁ y y₁ ya dados, obteniendo b = y₁ - m ^. x₁. Así ya podemos calcular y₂ = m ^. x₂ + b. Hasta ahora debería de tener las siguientes medidas:

Graficamos finalmente el punto (x₂, y₂) (seleccione en el orden anterior los puntos y luego aplique GraficarGraficar como (x,y)) y dibujamos el segmento de recta que une ambos puntos. Luego ocultamos el punto (x₂, y₂).

Observe que lo que tenemos entonces es un segmento de recta cuya pendiente corresponde al valor de en el punto (x₁, y₁). Al mover el punto original, podemos observar como cambia la pendiente de la recta, dependiendo del lugar del plano en donde se encuentre el punto.

Dibujando las isoclinas

Como lo que se quiere es dibujar isoclinas, debemos repetir este patrón para varios puntos en el plano. Una manera de hacerlo sería seleccionar el segmento, y hacer trazas del segmento (PresentarRastro del segmento), seleccionando el punto P, y animándolo a alta velocidad (seleccionar solo el punto y marcar PresentarAnimar el punto; luego, en la ventana de Controlador de movimiento aumentar la velocidad. Se puede utilizar PresentarBorrar rastro o Ctrl+B para borrar los rastros dejados con anterioridad). Se le aumenta la velocidad para que las trazas queden distanciadas.

Otra forma mejor, sin embargo, sería hacerlo más ordenado. Colocamos un punto sobre cualquiera de los ejes. Por ejemplo el eje y, y dibujamos una recta perpendicular al punto. Debemos ahora colocar el punto P sobre el segmento (recordemos quitar EditarRastro del segmento). Desde la versión 4 es muy fácil de unir un punto con el segmento, seleccionando el punto y la recta, con el comando EditarUnir el punto con la recta perpendicular. Este comando sirve para unir un punto con otro o unir un punto con una trayectoria. Ahora a lo largo de la recta faltaría dibujar las isoclinas, seleccionando el segmento de recta y el punto P, y luego el comando ConstruirLugar geométrico. Obsérvese como dibujamos ya todas las isoclinas a lo largo de la recta. Si se quisiera disminuir o aumentar la cantidad, basta darle en el botón derecho, propiedades, y modificar el número de muestras en la ventanilla Graficar.

Se selecciona una de las isoclinas del Lugar geométrico construido, y marcamos PresentarRastro del lugar geométrico. Luego animamos el punto que se encuentra sobre la recta, y aumentamos la velocidad de animación hasta que la distancia entre las isoclinas sea "aceptable".

Una mejor forma, sin embargo, sería seleccionar el punto, y crear un botón en EditarBotones de acciónAnimación. Se le da una velocidad alta (en mi caso, en la computadora que estaba usando 10 era un buen valor), y en la ventana de control se selecciona movimiento hacia adelante o hacia atrás una sola vez.

Eso llena el plano con isoclinas a una distancias decente. (Para borrar las isoclinas, Ctrl+B (MostrarBorrar trazas). Sin embargo se nos podría ocurrir qué pasaría si utilizamos otra función, por ejemplo f(x)=1/(xy). Hagamos la prueba. Para ello hagamos doble click en el valor de m, y modifiquemos la función. Borremos los rastros y volvamos a hacer click en la animación. ¡Queda espantoso! Las isoclinas chocan entre sí.

El hecho de que las isoclinas choquen entre sí, ocurre porque se tiene que m=y/x, y la longitud del segmento está dado por l =. Pero x es una constante, así y = m ^. x, y la longitud del segmento quedaría dada por l =x ^. . Así que en el caso de que la pendiente sea muy grande, el segmento también será muy grande. Por lo tanto ahora nos dedicaremos a "estilizar" nuestro trabajo.

Tal vez querramos tratar de modificar nuestra hoja de trabajo, sin embargo puede ser que no estemos seguros de lo que vamos a hacer, y tenemos miedo de perder todo lo que hemos hecho. Así, podemos agregar una página al archivo, y copiamos la página en la cual estábamos trabajando. Para ello, en ArchivoOpciones de documento en Agregar páginaDuplicar, y escoger la única página del documento. Con esta opción también se pueden duplicar páginas de otros documentos abiertos en nuestro documento.

Lo que queremos hacer, entonces, es crear una hoja de isoclinas de tal manera que el tamaño de todas ellas sea el mismo. Construimos entonces un parámetro, con cm como las unidades.

En propiedades del parámetro, en la ventanilla de Parámetro podemos modificar y poner 0.1 como el cambio con las teclas + y -. Esto lo usamos para que podamos modificar el tamaño de las isoclinas con las teclas + y - del teclado.

Y finalmente, construimos en vez de un segmento, un rayo cuyo origen es P y que pase por el punto (x₂, y₂). Aquí necesitamos el punto (x₂, y₂), pero este punto está oculto. Así, lo que hacemos es en PresentarMostrar todo lo oculto, hacemos click sobre el punto (x₂, y₂) para deseleccionarlo, y ocultamos el resto de cosas nuevamente en PresentarOcultar los objetos. Luego se construye un círculo con centro P y radio el valor del parámetro (ConstruirCírculo por centro+radio). Luego se construye la intersección entre el rayo y el círculo, se construye el segmento entre P y el punto de intersección, y se ocultan el punto (x₂, y₂), el rayo, el círculo y el punto de intersección. Y ya está listo. Ahora se realiza el mismo tipo de trabajo que hicimos en el anterior, de hacer primero el lugar geométrico y luego un botón de animación para el punto.

Sin embargo, observemos que los segmentos, aunque tienen la misma longitud, su pendiente no corresponde al punto medio sino al extremo del punto. Así podemos realizar un último cambio. En vez de construir un rayo, construir una recta, determinar las intersecciones entre la recta y el círculo anterior, y dibujar el segmento entre las intersecciones. Esto hace que las isoclinas queden centradas.

Dibujando una solución

Ahora dibujemos una solución de la ecuación diferencial sobre una de las gráficas de isoclinas, para comparar las posibles soluciones, con el campo de pendientes de la ecuación diferencial.

Para ello el trabajo es similar. Recordemos que para poder dibujar una solución, se necesita una condición inicial. Podríamos usar el punto P que ya teníamos, pero como es buena idea manejarlo de manera independiente, es mejor que grafiquemos otro punto, al cual podemos llamar Q; con este punto debemos determinar (x₁, y₁) y (x₂, y₂), con un nuevo valor de D_x, y de m. En este caso, el D_x lo podemos escribir como h, y el valor de h es mejor que sea pequeño, por ejemplo h = 0.01. Aquí si es muy importante, porque el error que nos genere h es acumulativo, por lo que mientras menor sea el valor de h, menor será el error de la solución. Graficamos el segmento determinado por los puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂).

Luego seleccionamos únicamente el punto Q, y lo iteramos en TransformarIterar. Escogemos como Primera imagen el punto (x₂, y₂). Y esa sería nuestra única imagen.

Nos aparece entonces en la pantalla una tabla "fantasma" y el comienzo de la iteración. En la ventana que se presenta en el figura anterior, en la ventanilla de Estructura debemos realizar algunas modificaciones. Abrimos la ventanilla y deseleccionamos Tabular valores iterados. Volvemos a abrir en la ventanilla Estructura y marcamos Sólo imágenes no puntuales, y hacemos click en el botón Iterar.

Seleccionemos las propiedades de la iteración que acabamos de hacer, y allí, en la ventanilla de Iteración podemos cambiar el número de iteraciones, por ejemplo unas 1500.

Ahora ocultamos el punto (x₂, y₂), y movemos el punto Q por la pantalla, para observar cómo se relaciona la gráfica de la solución con las isoclinas.

isoclinas.gsp

Con este artículo se puede observar la versatilidad del Geómetra Sketchpad en diferentes ramas de la matemática, incluso en áreas más avanzadas. Se invita al lector a intentar nuevas cosas con el geómetra. Si desea observar el trabajo realizado, aquí se le presenta el artículo por si quiere utilizarlo y revisarlo.