Calcular el área bajo una curva utilizando El Geómetra Sketchpad ®

Luis Ernesto Carrera R.

Profesor del Departamento de Matemática
Instituto Tecnológico de Costa Rica

El Geómetra Sketchpad® es un programa de geometría dinámica, que está enfocado a facilitar el proceso de enseñanza-aprendizaje de la geometría en secundaria.

Sin embargo, las herramientas con las que cuenta la última versión del mismo (4.02 en español), nos permiten ir más allá, y construir aplicaciones en diversos campos de la matemática.

El interés de este artículo es, mediante el proceso de construir una aplicación que nos permita aproximar el área bajo una función, estudiar algunas de las herramientas que ofrece este paquete computacional, en especial la herramienta de iteración.

Usando la iteración en Sketchpad

La última versión de Sketchpad cuenta con una herramienta de transformación llamada iteración, la cual consiste en repetir un proceso utilizando como entrada el resultado previo. La forma en la cual afrontaremos el problema de calcular el área bajo una curva, será utilizando la herramienta de iteración. Aunque trataremos de explicar de manera detallada su uso, recomendamos al lector que nunca haya usado la iteración en Sketchpad, que se familiarice un poco con ella, leyendo al menos la explicación que viene en la Ayuda de este programa. Para buscar ayuda sobre algún tema en específico, se selecciona Ayuda Contenido y escribimos el tema. En este caso, el tema a buscar sería iterar:

Una de las dificultades que debemos enfrentar al momento de calcular el área bajo una curva utilizando la suma de áreas de rectángulos, es que debemos contar con alguna manera de construir un acumulador del área total, de manera que podamos construir una aplicación donde no importe la cantidad de rectángulos que queramos construir, siempre tengamos la suma del área total de ellos. Para mostrar como podemos resolver este problema, vamos a utilizar iteración numérica, con un ejemplo de sumar n números consecutivos a partir de 0. Comenzamos construyendo un nuevo parámetro en GraficarNuevo parámetro... [Shift+Ctrl+P], al cual podríamos llamar p, con un valor de 0:

  

Luego calculamos el número consecutivo, en MedirCalcular...

  

Creamos ahora otro parámetro llamado acum₀, también con un valor de 0, y calculamos acum_total=acum₀+(p+1). Para cambiar el nombre del nuevo cálculo hacemos click con el botón derecho, en Propiedades. Para utilizar subíndices, ponemos el texto del subíndice entre paréntesis cuadrados.

  

Si quisiéramos construir la sucesión de números naturales solamente, bastaría con hacer la iteración pp+1. Para ello, se seleccionan todos los elementos independientes, en este caso p; se selecciona TransformarIterar... y se hace el mapeo correspondiente:

  

En Sketchpad las iteraciones numéricas se presentan al usuario por medio de tablas. Se puede observar que en esta tabla se incluye acum_total, porque es una medición que dependía de p+1. Sin embargo, en ella no se presenta la suma, porque lo que hace es sumar siempre acum₀+(p+1).

Seleccionando la tabla, con la tecla + se pueden aumentar el número de iteraciones, y con la tecla - se disminuyen. También haciendo click derecho en la tabla, en Propiedades, se puede escoger el número de iteraciones deseado:

Ahora deseamos incluir el acumulador, por lo que vamos a construir una iteración con p y acum₀, y el mapeo va a ser pp+1 y acum₀acum_total. Dicha iteración nos presenta la siguiente tabla, en la cual ya está incluida la suma de los elementos anteriores:

Construyendo un n-gono

Una forma de construir un n-gono, podría ser tener un parámetro num_lados, y a partir de un círculo y un punto en la circunferencia rotar el punto a través del centro, con un ángulo que corresponda a la n-ésima parte de la circunferencia completa. Luego, iteramos el número necesario de veces hasta que hayamos completado la circunferencia.

Para hacer lo anterior, primero debemos construir un círculo con la herramienta de círculos, y construir además el parámetro num_lados mencionado con anterioridad. Luego, calculamos el ángulo de rotación:

teniendo en cuenta de que debemos incluir la unidad de grados en 360. También se podría utilizar las unidades en radianes, con la conversión correspondiente.

Luego seleccionamos la medición anterior, y marcamos ese ángulo como referencia en TransformarMarcar ángulo. La medición parpadeará. Hacemos luego doble click en el punto del centro del círculo, o lo seleccionamos y lo marcamos como centro en TransformarMarcar centro [Shift+Ctrl+F]. Seleccionamos el punto que se encuentra en la circunferencia, y lo rotamos en TransformarRotar:

Sketchpad rotará el punto, el número de grados indicado, utilizando como pivote el centro del círculo. Observe que conforme variamos el número de lados (seleccionando el parámetro y utilizando las teclas + y -), varía el ángulo de rotación y por lo tanto la posición del punto indicado.

Vamos ahora a construir la iteración. Para que la construcción quede más entendible, ocultemos primero el círculo (se selecciona el círculo y se oculta en PresentarOcultar círculo [Ctrl+h]). Seleccionamos los tres puntos, y construimos el triángulo en ConstruirInterior del triángulo [Ctrl+P].

Ahora realizamos la iteración, seleccionando el punto original de la circunferencia, Iterar en el menú Transformar, y en el mapeo el punto rotado.

Para cambiar el número de lados del polígono, basta con cambiar el parámetro del número de lados, y cambiar también el número de iteraciones para completar el ciclo.

Sin embargo, Sketchpad dispone de una herramienta complementaria en la iteración, y es la herramienta de Iterar a profundidad..., en la cual se seleccionan los elementos que se desean iterar, y de último se selecciona cualquier número que refiera el número de iteraciones que deseamos construir. Así, podemos realizar nuevamente la iteración, seleccionando el punto, luego el número de lados, el menú Transformar, y dejando apretada la tecla mayúscula, la opción deseada:

Tratemos de calcular el área del polígono, utilizando la misma idea del acumulador de la sección anterior. Para eso deshacemos la iteración construida, creamos un nuevo parámetro llamado acum₀, calculamos el área del triángulo (seleccionamos el triángulo y calculamos su área en MedirÁrea o con el botón derecho sobre el triángulo y Área).

Ahora calculamos area_k+1=area₀+area_triangulo, y seleccionamos el punto, acum₀ y num_lados, e iteramos a profundidad haciendo el mapeo del punto a la rotación y acum₀area_k+1.

Observamos que aparece una tabla, donde el resultado final debería de corresponder al área del polígono. Comparamos esta área calculando el área del círculo (PresentarMostrar todo lo oculto), o calculando la distancia desde el centro hasta el punto en la circunferencia, y luego haciendo el calculo de x(radio)². Podríamos aproximar el área del círculo aumentando el número de iteraciones, sin embargo, con diez iteraciones ¡¡nos percatamos de que el área del polígono es mayor al área del círculo!!

Sin embargo, antes de desinstalar Sketchpad de nuestra computadora, deberíamos de analizar de donde proviene el error. Si se construye nuevamente el polígono sin iterar a profundidad, nos damos cuenta que el número de iteraciones necesarias para construir el polígono es de num_lados-1, porque nosotros ya creamos una construcción previa, la cual Sketchpad no toma en cuenta en la iteración. Así, calculamos num_lados-1, y construimos nuevamente la iteración con el punto, acum₀ y num_lados-1 como la profundidad.

Dividiendo un segmento en n partes iguales

Una de las formas de calcular el área bajo una curva sería dividir un segmento en n partes iguales. Cada una de las partes correspondería a la base de un rectángulo, mientras que la altura del rectángulo correpondería al valor de la función en cualquier valor de x correspondiente al segmento. Así, nos ocuparemos primero de dividir un segmento de la recta en n partes iguales. La recta corresponde al eje de coordenadas de Sketchpad. Para visualizar el eje de coordenadas presionamos la letra mayúscula del teclado y seleccionamos GraficarMostrar sistema de coordenadas.

Para ocultar la cuadrícula seleccionamos GraficarOcultar cuadrícula. Ahora definimos un par de parámetros x_izq y x_der, que definan el intervalo en el cual queramos trabajar. Definimos además un parámetro nulo=0, el cual vamos a utilizar para diversas cosas.

Graficamos ahora los valores en el eje x, seleccionando x_izq y nulo y graficándolo como par ordenado (x,y). Graficamos también (x_der, nulo).

Construimos un parámetro num_divisiones y calculamos num_divisiones-1, para utilizarlo como valor de referencia para la profundidad de la iteración que vamos a construir. Calculamos luego el tamaño del segmento:
 delta_x=(x_der-x_izq)/num_divisiones.

Calculamos luego la posición del punto x₁, sumando a x_izq el valor de segmento. Graficamos luego el par ordenado (x₁,nulo). Ahora, lo usual nos llevaría a construir la iteración a profundidad escogiendo x_izq y num_divisiones-1 y haciendo el mapeo de x_izqx₁.

Sin embargo, en la tabla notamos que el valor de delta_x disminuye conforme aumenta la iteración, y que los puntos no dividen al segmento en partes iguales. Eso se debe a que el cálculo de delta_x depende de x_izq, y en la iteración siguiente divide entre el mismo número de partes un segmento que es más pequeño.

Una posible solución es cambiar también el número de divisiones, disminuyendo en una división conforme hacemos cada iteración. Así, podemos iterar a profundidad escogiendo x_izq, num_divisiones y num_divisiones-1, con el mapeo x_izqx₁ y num_divisiones(num_divisiones-1).

Calculando el área debajo de la curva

Ya tenemos casi todo nuestro problema resuelto. Utilizaremos la construcción anterior, borrando la iteración que hicimos al final. Basta graficar ahora en el sistema de coordenadas una función cualquiera:

  

La altura para el primer rectángulo va a estar definida por altura=f(x_izq), y el área por area=altura x delta_x. Ahora debemos construir un parámetro acum₀=0, y calcular area_total=acum₀+area.

Para mejor visualización, sería buena idea graficar los rectángulos. Para ello graficamos los puntos (x_izq,altura) y (x₁,altura). Trazamos luego segmentos que unan los puntos (x_izq,0), (x_izq,altura), (x₁,altura) y (x₁,0).

También podemos construir el interior del cuadrilátero, escogiendo los puntos en el orden descrito y utilizando el comando ConstruirInterior del cuadrilátero. Para que la construcción final quede mejor, sería buena idea ocultar los puntos mencionados después de haber trazado los segmentos y/o construido el cuadrilátero.

Ya estamos listos para la iteración a profundidad, seleccionando x_izq, num_divisiones, acum₀ y num_divisiones-1, con el mapeo correspondiente:

En la tabla, junto con otros datos, se nos muestra el área total al final de la misma. Sin embargo, podría ser útil tener el valor del área total como un dato independiente. Una posibilidad para hacerlo podría ser la opción que tiene Sketchpad para las iteraciones que es TransformarPunto final, la cual se presenta en iteraciones de puntos.

Por lo tanto, antes de iterar, una posibilidad sería graficar el valor del área como un punto, y una opción es hacerlo sobre el eje y, pues si lo hacemos en el eje x se podría confundir con los otros puntos que ya existen. Así, graficamos el punto (0,area_total).

Iteramos a profundidad, utilizando el mismo esquema anterior, y se puede observar una línea de puntos iterados sobre el eje y. Seleccionamos uno de los puntos iterados y escogemos TransformarPunto final. El punto aparece seleccionado. Ahora, calculamos el valor del área utilizando el valor de la ordenada del punto en MedirOrdenada (y), y cambiamos el rótulo de la medición por Área Total. Ocultamos aquellas cosas que no son necesarias, y presentamos nuestro trabajo al público:

Conclusión

El Geómetra Sketchpad es un programa que trae muchas herramientas que podemos utilizar en gran variedad de situaciones. Aquí, para resolver un problema, hemos tratado de mostrar una diversidad de usos para la herramienta Iterar. El objetivo era, no solamente mostrar como se podría construir el área bajo una curva, sino además complementar con diversas técnicas que se podrían utilizar en otras situaciones diferentes.

Esperamos que al lector le hayan servido estas notas. Para obtener el archivo de Sketchpad donde se hicieron las construcciones aquí presentadas, haga click aquí

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