Matrices de rotación
Si A es ortogonal (i.e. AtA = I) y si
= 1
es un valor propio de A y
u es un vector propio asociado a
= 1, entonces
< Av,u > = < Av, Au > = < v,u >. Esto hace que
Av y
v tengan la misma norma y el mismo ángulo respecto a
u.
Av es una rotación de
v alrededor de
u.
En general, si A es ortogonal,
Av es una rotación
de
v (algunas de estas rotaciones son `impropias', es decir,
corresponden a reflecciones, inversiones o ``rotoreflecciones"). Ahora, dada A ortogonal, cuál es el ángulo de giro y cuál es el eje de giro?
TEOREMA (Matrices ortogonales)
Sea A3×3 = (aij) real ortogonal
Sean y
complejos conjugados.
Si
= 1,
=
y
=
son los valores propios de la matriz A, entonces
Av es una rotación de
v, de ángulo
, alrededor de la recta generada por cualquier vector propio
u asociado al valor propio
= 1. El ángulo de rotación
satisface la ecuación
cos(
) =
(TrA - 1). Además podemos tomar
La matriz ortogonal
A = ![]() ![]() ![]() cumple las condiciones del teorema, sus valores propios son ![]() ![]() |
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