Antecedentes

La idea de este planteamiento consiste en determinar un método más general, para poder hallar el área de un polígono regular. La forma peculiar de resolución viene dada por la relación:

Reconociendo el hecho de que todo polígono regular es cíclico (es decir, se puede inscribir en una circunferencia) podemos referirnos a su radio:

Busquemos una forma alternativa para determinar la apotema a del polígono. El área de la región triangular anterior, se puede determinar de dos formas distintas, a saber:

A = $\displaystyle {\frac{l\cdot a}{2}}$ $\displaystyle \wedge$ A = $\displaystyle \left(\vphantom{ s-r}\right.$ s - r $\displaystyle \left.\vphantom{ s-r}\right)$ $\displaystyle \sqrt{s\left( s-l\right) }$ con s = $\displaystyle {\frac{l+2r}{2}}$

Lo anterior de acuerdo a la forma habitual para hallar el área de un triángulo y a la relación de Arquímedes.

	$\displaystyle \Rightarrow$	$\displaystyle {\frac{l\cdot a}{2}}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{ \frac{l+2r}{2}-r}\right.$ $\displaystyle {\frac{l+2r}{2}}$ - r $\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{l+2r}{2}-r}\right)$ $\displaystyle \sqrt{\frac{%% l+2r}{2}\left( \frac{l+2r}{2}-l\right) }$
	$\displaystyle \Rightarrow$	$\displaystyle {\frac{l\cdot a}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{l}{4}}$ $\displaystyle \sqrt{4r^{2}-l^{2}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ a = $\displaystyle {\frac{\sqrt{4r^{2}-l^{2}}}{2}}$

En consecuencia en $\left(\vphantom{ 1}\right.$ 1 $\left.\vphantom{ 1}\right)$ tenemos que:

A = s^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{4r^{2}-l^{2}}}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{n\cdot l}{4}}$ $\displaystyle \sqrt{4r^{2}-l^{2}}$

(2)

La relación $\left(\vphantom{ 2}\right.$ 2 $\left.\vphantom{ 2}\right)$ es insuficiente en términos prácticos, pues ésta depende del radio del polígono usualmente no conocido. Busquemos otra relación más precisa, para ello consideremos lo siguiente:

B = $\displaystyle {\frac{2\pi }{n}}$ $\displaystyle \wedge$ 2D + B = $\displaystyle \pi$ $\displaystyle \Rightarrow$ D = $\displaystyle {\frac{\pi \left( n-2\right) }{%% 2n}}$

(3)

cos D	=	$\displaystyle {\frac{l}{2r}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ r = $\displaystyle {\frac{l}{2\cos D}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ r² = $\displaystyle {\frac{%% l^{2}}{4\cos ^{2}D}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ 4r²
	=	$\displaystyle {\frac{l^{2}}{\cos ^{2}D}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ A = $\displaystyle {\frac{n\cdot l}{4}}$ $\displaystyle \sqrt{\frac{l^{2}%% }{\cos ^{2}D}-l^{2}}$

$\displaystyle \Rightarrow$ A = $\displaystyle {\frac{n\cdot l}{4}}$ $\displaystyle \sqrt{\frac{l^{2}sen^{2}D}{\cos ^{2}D}}$ = $\displaystyle {\frac{n\cdot l^{2}}{4}}$ tan D

Finalmente el área del polígono regular de n lados, se puede hallar por la relación:

A = $\displaystyle {\frac{n\cdot l^{2}}{4}}$ tan $\displaystyle \left[\vphantom{ \frac{\pi \left( n-2\right) }{2n}}\right.$ $\displaystyle {\frac{\pi \left( n-2\right) }{2n}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{\pi \left( n-2\right) }{2n}}\right]$

(4)

Es observable de acuerdo a este resultado, que el área de un hexágono regular cuya longitud del lado es l viene dada por:

A = $\displaystyle {\frac{6\cdot l^{2}}{4}}$ tan $\displaystyle \left[\vphantom{ \frac{\pi \left( 6-2\right) }{12}}\right.$ $\displaystyle {\frac{\pi \left( 6-2\right) }{12}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{\pi \left( 6-2\right) }{12}}\right]$ = $\displaystyle {\frac{3\sqrt{3}}{2}}$ l²

(5)

Una manera muy adecuada y didáctica, para presentar un resultado de este tipo a los estudiantes de secundaria, es utilizar algún software que le permita al estudiante corroborar la relación mediante un laboratorio de verificación. A continuación se expone un laboratorio, basado en el software Sketchpad 3.0.