DON MIGUEL DE GUZMÁN OZÁMIZ

Vernor Arguedas T.
Escuela de Matemática
Universidad de Costa Rica

El   12 de enero del 2006 don Miguel de Guzmán cumpliría 70 años. -enero 12, 1936, abril 15, 2004- Este humanista en el buen sentido de la palabra fue un extraordinario profesor e investigador español. Matemático brillante, discípulo de  Calderón en Chicago. Entendió  como pocos el valor de la Historia y el impacto de las computadoras en la enseñanza e investigación en las ciencias matemáticas. Así como los riesgos que conlleva un mal uso de esta tecnología. Una pluma ágil que le permitió contar cuentos o presentar teoremas nuevos o diserta a profundidad sobre diversos temas como enseñanza de la matemática. Su discurso  de ingreso en la Real Academia Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales (Madrid 23 de marzo de 1983) titulado:

“IMPACTOS DEL ANÁLISIS ARMÓNICO.

EL SUEÑO PITAGÓRICO: TODO ES ARMONÍA Y NÚMERO”

es una pequeña obra maestra de 46 páginas. Citemos algunas frases de este trabajo para que el lector pueda apreciar mejor a este gran científico quien como matemático contribuyó notablemente al desarrollo del análisis armónico moderno: “Por la admiración, dice Aristóteles, comenzó el hombre a filosofar. La capacidad de admiración, esa prerrogativa del hombre sobre los animales, lleva al ser humano a inquirirlo todo, incluso el fenómeno más rutinario, una vez que adquiere la paz y la posibilidad de ocio necesarias para ello. ¿Cómo está constituida la tierra y el cielo? ¿Cómo giran los astros, Sol, Lunay estrellas? ¿Existe alguna ordenación de sus movimientos acompasados? ¿Qué tienen que ver nuestras estaciones y nuestro propio vivir con ellos? El volar de los pájaros, el transcurrir de las nubes, el tejer de las arañas, el crecer de los árboles, el fuego, el agua,... desde todos los rincones a donde el hombre dirige su mirada surge una admiración primero y una interrogación después.”

“Pitágoras no fue un matemático descarnado. Había viajado mucho. Es posible que aprendiera de Tales de Mileto todo lo que este sabía de geometría. En Egipto había sido iniciado tal vez en astronomía y en los misterios religiosos. Es posible que visitara Babilonia y aprendiera de los sabios orientales sus métodos astronómicos. Con esta brillante aureola constituyó en Crotona su escuela.”
“La visión pitagórica fundamental, la base de su sistema, consistió en la persuasión profunda de la inteligibilidad del cosmo mediante el número. En uno de los pocos fragmentos que han llegado hasta nosotros de uno de los pitagóricos primitivos, Filolao, se encuentra el siguiente himno al número: Grande, todopoderosa, todoperfeccionadora y divina es la fuerza del número, comienzo y regidor de la vida divina y humana, participante en todo. Sin el número todo es confuso y oscuro. Porque la naturaleza del número proporciona conocimiento y es guía y maestra para todos en todo lo que es dudoso y desconocido. Porque nada de las cosas nos sería claro si no existiera el número y su esencia. Este es quien armoniza en el alma las cosas con su percepción, haciéndolas cognoscibles y congruentes unas con otras según su naturaleza, proporcionándoles corporeidad. (Diels, B.11). 

¿Cuál pudo ser el camino intelectual de Pitágoras para llegar a esta idea tan profundamente moderna? Más de 21 siglos habrán de transcurrir para que, a partir del siglo XVI, tal doctrina quede firmemente establecida en el pensamiento de la humanidad.”
 
“¡El número como método de pensamiento para desvelar los misterios del universo!  Esta iluminación constituyó un verdadero giro en la historia del pensamiento. Implicaba cambiar radicalmente de oráculo en la búsqueda de respuesta a muchas de las infinitas preguntas del hombre”

“Los matemáticos de todos los tiempos se han identificado con el
espíritu soñador de Pitágoras y Platón más que con el espíritu aristotélico. En la historia del análisis armónico se revela especialmente el maridaje, extraño para muchos, de matemáticas y misticismo que perdura en nuestros días en las elucubraciones de nuestros astrólogos de claro sabor cabalístico y neopitagórico, sólo que con mucho menos soporte racional y mucha más superficialidad que en buena parte de los antiguos”

“En el siglo XVI aparece un nuevo Pitágoras, totalmente imbuído de la idea de que el universo es explicable mediante la armonía y proporciones numéricas, Johannes Kepler. En su Mysterium Cosmographicum (1596) se expresa del siguiente modo: Yo me propongo demostrar que Dios, al crear el universo y al establecer el orden del cosmos, tuvo ante sus ojos los cincosólidos regulares de la geometría conocidos desde los días de Pitágoras y Platón, y que El ha fijado de acuerdo con sus dimensiones el número de los astros, sus proporciones y las relaciones de sus movimientos.”

“El primer análisis matemático de las ondas, en un sentido más cuantitativo, lo realizó otro gran místico matemático que se mantuvo oculto como tal durante toda su vida, Isaac Newton. En sus Principia (1687) estudia las ondas y gracias a este análisis calcula la elipticidad de la tierra con una exactitud que hoy nos asombra. La faceta esotérica de Newton, un ferviente seguidor del místico Jakob Böhme, ha permanecido en la sombra durante mucho tiempo. El hombre que públicamente "no forjaba hipótesis" se reservaba para sí mismo un gran banquete de ellas de la más variada naturaleza. Después de su muerte, al levantar la tapa del arcón en que Newton mantenía sus escritos esotéricos, el obispo Horsley quedó tan aterrado por los fantasmas de tales especulaciones heterodoxas de aquel padre de la patria que estaba enterrado junto a los reyes de la nación, que decidió que más valía cerrar rápidamente aquella caja de Pandora. El ejemplo de Newton podría ser devastador para las doctrinas establecidas.”

“La Historia moderna del análisis armónico comienza como una nueva variación del tema pitagórico, esta vez con los instrumentos del análisis matemático del siglo XVIII.  Entre los problemas propuestos por Brook Taylor en su Método incrementorum directa et inversa (1715) figuran los dos siguientes:

Problema 17.  Determinar el movimiento de una cuerda tensa.

Problema 18. Dada la longitud y el peso de la cuerda, así como la fuerza que la tensa, encontrar el tiempo de vibración.

Taylor obtiene en su lenguaje propio, un tanto distinto del nuestro, la ecuación diferencial de la cuerda vibrante, es decir la ecuación de ondas unidimensional. Encontró que el movimiento de un punto arbitrario es el de un péndulo simple y determinó su tiempo de vibración, su período. Así mismo estableció que la forma de curva que toma la cuerda en un instante dado es sinusoidal.”

“Fourier se manifiesta también profundamente pitagórico en el interesante discurso preliminar de su obra fundamental, Teoría Analítica del calor, publicada en 1822:

Las ecuaciones analíticas… no se restringen a las propiedades las figuras y a las que son objeto de la mecánica racional; se extienden a todos los fenómenos generales. No puede haber un  lenguaje más universal ni más simple, más exento de errores y oscuridades, es decir más digno de expresar las relaciones invariables de los seres naturales. Considerado bajo este punto vista, el análisis matemático es tan extenso como la naturaleza misma; define todas las relaciones sensible, mide el tiempo, los espacios, las fuerzas, las temperaturas;… su atributo principal es la claridad; no tiene en absoluto signos para expresar nociones confusas. Relaciona los fenómenos más diversos y descubre las analogías secretas que los une. Si la materia se nos evade, por su extrema tenuidad, como la del aire y de la luz, si los cuerpos están situados lejos de nosotros, en la inmensidad del espacio, si el hombre quiere conocer el espectáculo de los cielos en épocas sucesivas que un gran número de siglos separa, si las acciones de la gravedad y del calor se ejercen en el interior del globo sólido a profundidades que nos serán siempre inaccesibles, el análisis matemático puede, con todo, dominar las leyes de estos fenómenos. El nos los hace presentes y parece ser una facultad de la razón humana destinada a suplir la brevedad de la vida y la imperfección de los sentidos; y, lo que es aún más notable, sigue el mismo camino en el estudio de todos los fenómenos; los interpreta con el mismo lenguaje como para atestiguar la unidad y la simplicidad del plan del universo, y hacer aún más patente este orden inmutable que preside todas las causas naturales.’’

A la cabeza del capítulo primero de este gran "poema matémático", como Maxwell llamó a la Teoría analítica del calor figura en latín una cita de Platón que resume el

pensamiento básico de Fourier sobre la aplicabilidad universal del análisis matemático: ET IGNEM REGUNT NUMERI (incluso el fuego está gobernado por los números).

Fourier llevó adelante esta persuasión con tenacidad.”

“En 1952 el análisis armónico experimentó un cambio de rumbo a partir de la publicación de un famoso artículo de Calderón y Zygmund sobre integrales singulares. Hasta entonces, y tal vez a impulsos de la escuela rusa, muchos de los problemas importantes se habían tratado acudiendo a profundos resultados de la teoría de funciones de una variable compleja. Esta teoría estaba muy desarrollada desde los tiempos de Riemann y Weirstrass, y tanto sus profundos resultados como sus métodos tenían un fuerte sabor unidimensional.Consecuentemente muchos de los teoremas importantes en análisis armónico
obtenidos mediante el apoyo en la teoría de variable compleja participaban de esta restricción fundamental.” “Las distribuciones han venido, por otra parte, a poner más de manifiesto el papel central de la convolución en el análisis armónico y en sus conexiones con las ecuaciones en derivadas parciales. Ya desde Fourier y Dirichlet los coeficientes de la serie de Fourier se habían calculado mediante la convolución con un cierto núcleo, lo que facilitó grandemente el análisis. La transformada de Fourier de una convolución de dos funciones es el producto ordinario de las transformadas de Fourier de las dos funciones. La transformada de Fourier de la función que resulta de aplicar un operador diferencial lineal de coeficientes constantes a una función es el producto ordinario de la transformada de Fourier de la función por el polinomio característico de tal operador diferencial. De este modo se ha conseguido convertir una buena parte de la teoría de ecuaciones diferenciales en un simple cálculo algebraico. Se ha llegado con ello a una cierta algebraización del análisis.” Termina su ensayo don Miguel de la siguiente manera:
 
“En los métodos de cálculo del espectro ha influído poderosamente el desarrollo reciente de los computadores. De los métodos analógicos, iniciados con el analizador armónico de Michelson y Stratton en 1898 y de los múltiples métodos de cálculo de los coeficientes, gráficos, mecánicos, eléctricos, ópticos,... se ha pasado al dominio casi absoluto de los métodos digitales, ampliamente simplificados mediante la introducción de la transformada rápida de Fourier por Cooley y Tukey en 1965 y por otros métodos contemporáneos como el método de máxima entropía introducido por Burg en 1967.
La interpretación del espectro es un problema que, como la elección del tipo de espectro, depende en buena parte del fenómeno mismo que se estudia. Tal vez sea aquí donde algunos de los desarrollos más sutiles que los matemáticos del análisis armónico realizan en la actualidad tengan mayor importancia en el futuro. En biología, por ejemplo, la determinación de una estructura tridimensional a partir del conocimiento parcial que pueden proporcionar los métodos de obtención del espectro por rayos X constituye un problema interesante que requiere instrumentos matemáticos muy elaborados.
 
Los métodos del análisis armónico han sido aplicados con éxito a fenómenos no periódicos. En el problema de filtrado de series temporales, de gran importancia en la ingeniería de comunicaciones, se trata de purificar una señal que se recibe perturbada por otra señal o contaminada por el ruido. En la teoría de predicción se pretende, a través del análisis del pasado de un fenómeno, predecir con el menor error posible la marcha futura del fenómeno. Los métodos utilizados para ello por Wiener en 1942, originados en el análisis armónico, han dado lugar a resultados muy satisfactorios. Kolmogorov, en 1941, atacó problemas semejantes, obteniendo resultados que en parte se solapan con los de Wiener.
 
Las ondas parecen estar presentes de una forma u otra en todos los aspectos de nuestra existencia. Pero su presencia nos aparece aún más dominante hoy día si dirigimos nuestra mirada hacia la estructura elemental de nuestro universo. La concepción corpuscular de la materia, por bastante tiempo preponderante, ha debido ser substituída por una explicación pragmática dual. Las estructuras elementales de la materia se manifiestan a veces como si fuesen partículas y otras muchas como si fuesen ondas, vibraciones transmisoras de energía. Es de esperar que el enigma presente detrás de estas apariencias sea resuelto algún día,aunque sea para dar paso a enigmas de niveles más profundos. Algunos físicos se inclinan a pensar que el paradigma de la ondaes más potente para explicar satisfactoriamente los fenómenos y que tal vez se pueda uno pensar las partículas, como lo expresó Schrödinger en 1952, como estructuras más o menos pasajeras dentro del campo de ondas, pero cuya forma y variedad estructural, en el sentido más amplio de la palabra, está determinado por las leyes de las ondas de manera tan clara, exacta y recurrente en la misma forma, que muchas veces se manifiestan si fueran entidades duraderas substanciales. Es muy interesante observar que en 1925, en el mismo año en que de Broglie propusiera las ideas fundamentales sobre la concepción ondulatoria de la materia que había de dar lugar a la forma moderna de la teoría cuántica, Whitehead, en una serie de conferencias, recogidas más tarde en su obra Ciencia en el mundo moderno, proponía su teoría orgánica de la materia, en la que el elemento básico es la vibración en sus dos formas radicalmente diferentes, la locomoción vibratoria de un esquema dado y el cambio vibratorio de esquema. La discusión y los intentos de aclaración en círculos físicos y filosóficos de los problemas que el estudio de la estructura elemental de la materia ha suscitado están hoy día muy lejos de llegar a su fin. Pero sí podemos estar de acuerdo con esta reflexión de Whltehead, con la que quiero concluir mi trabajo.

Después de tantos siglos, al fin hemos vuelto a una versión de la doctrina del viejo Pitágoras, del cual se originó la matemática y la física matemática. El descubrió la importancia de ocuparse de las abstracciones y en particular dirigió su atención al número como caracterizador de las periodicidades de las notas musicales… En el siglo XVI el nacimiento de la ciencia moderna requirió una nueva matemática, más plenamente equipada para analizar las características de la existencia vibratoria. Y ahora en el siglo XX encontramos a los físicos ocupados en gran parte en analizar las periodicidades de los átomos. Verdaderamente Pitágoras, con su fundación de la filosofía europea y de la matemática europea, la dotó con la más afortunada de las conjeturas, ¿o acaso fue un resplandor de genio divino que penetró hasta la naturaleza más íntima de las cosas?”

Portada de la edición en Inglés

 

El libro en red de don Miguel de Guzmán, "TENDENCIAS INNOVADORAS EN EDUCACIÓN MATEMÁTICAS", cuyo índice  es: Índice Introducción ¿Por qué la enseñanza de la matemática es tarea difícil? Situación actual de cambio en la Didáctica de las Matemáticas Tendencias Generales actuales Cambios en los principios metodológicos Algunas Tendencias actuales en los Contenidos Desiderata Bibliografía Se puede bajar y leer de http://www.oei.es/edumat.htm

 

En la dirección http://www.mat.ucm.es/deptos/am/guzman/pagjor/index.htm  se encuentra las referencias a Historia de las Matemáticas cuyo índice es: Presentación Matemáticos  Importantes  a  lo  largo  de  la  historia. Artículos  sobre :  Los pitagóricos (Por Miguel de Guzmán Ozamiz).  Apolonio (Por Miguel de Guzmán Ozamiz).  Las bibliotecas, comienzos, biblioteca de Alejandria. Enlaces a otras páginas sobre Historia de las Matemáticas(En ingles). Enlaces a otras páginas sobre Historia de las Matemáticas(En español). Bibliografía recomendada.  En: http://www.mat.ucm.es/deptos/am/guzman/cuentosconcuentas/indicecc.html se encuentra el bello libro Cuento con cuentas   Indice   Prólogo Las matemáticas de un bocata Nim Los puentes de Königsberg Un grupo para solitarios El matemático como naturalista Cuatro colores bastan La rana saltarina El ajedrez recortado

Don Miguel se fue, algo de su obra material nos queda  como legado. Algunas de sus máximas formarán a muchos científicos en el presente y en el futuro y quizá muchas otras personas entiendan que deben analizar los diversos temas desde sus orígenes hasta el presente y maravillarse ante un poco de luz.

Cidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCR
Derechos Reservados