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Notación Funcional, Algunas Consideraciones

Pedro Díaz Navarro
Escuela de Matemática
Universidad de Costa Rica

Introducción

El concepto de función es uno de los conceptos matemáticos más importantes de la matemática moderna. Gracias a este, la matemática del siglo XX ha alcanzado un grado de abstracción y formalidad sin precedentes.

La utilidad de las funciones es tal que prácticamente en cualquier campo de las ciencias exactas, la ingeniería, la economía, la computación, etc. su conocimiento es, no solo obligatorio sino indispensable.

Es por esta versatilidad, aplicabilidad e importancia que dicho concepto se incluye los planes y programas de la enseñanza secundaria.

Sin embargo, la precisión en la definición que se necesita para definirla y el nivel de abstracción necesaria por parte de los educandos para comprenderlo plantea algunos problemas de tipo metodológico que, si no se consideran, podrían no solo causar una deformación en el estudiante, con la consecuente apatía de su aprendizaje, sino que en algunos casos podría inducir a errores teóricos de consideración.

Cuando presentamos la teoría de funciones a nivel de enseñanza secundaria es común establecer la definición de función de la siguiente forma:

(De Función) Una Función f de un conjunto A en un conjunto B es una ley o criterio que asocia a cada elemento del conjunto A un único elemento del conjunto B². El conjunto A se llama Dominio de la función f y el conjunto B se llama Codominio de la función f. Los elementos del Dominio se llaman preimágenes y los elementos del codominio que tienen asociada una preimagen se llaman imágenes. Al conjunto de imágenes se le llama Ambito de la función f.

La definición anterior se podría presentar separando los conceptos que la integran para hacerla más comprensible al estudiante. Esto dependerá de la metodología usada por el educador, pero en esencia sea cual sea la metodología usada, los componentes de su definición deben ser al menos los mismos de la definición anterior.

De la misma definición de función se infiere que una buena técnica didáctica para su enseñanza será aquella en la que se traten el concepto de manera integral, dándole igual importancia a los conceptos componentes involucrados a saber: criterio, dominio, codominio y ámbito. El descuido de alguno de ellos en el plan de lección generará ambigüedades que tarde o temprano inducirán a error como veremos en las siguientes secciones.

Por último indicamos que en la exposición siguiente se asume que las funciones involucradas son funciones reales de variable real.

Notación de funciones y uso de paréntesis

Una vez establecida la definición de función se procede a establecer la notación que convencionalmente se usa para representar una función a saber:

Denotamos una función f de un conjunto A en un conjunto B de la siguiente manera:

f : A $\displaystyle \to$ B;x $\displaystyle \mapsto$ f (x)

Esta notación establece que la función f debe estar definida de forma que las preimágenes deben pertenecer al conjunto A y se le deben asociar como imágenes, elementos del conjunto B por medio del criterio f.

Es común que en el plan de lección se le dé una gran importancia a la interpretación de esta simbología en lo referente al dominio, codominio y ámbito de la función f y muy poca o ninguna al papel que juega el criterio de asociación dentro de esta simbología. Este es en si un error de consideración por cuanto el abuso de la notación induce generalmente un error en la evaluación de la función.

Cuando solicitamos calcular cos(3 $\pi$ ) dentro de una expresión que involucra varias operaciones , es muy común omitir los paréntesis y escribir únicamente cos 3 $\pi$ . Esta forma de escribir es errónea por cuanto induce fácilmente a error. Ilustramos la situación con el siguiente ejemplo:

``Calcule cos 3 $\pi$ + 4''

Aunque a primera vista no parece haber ambigüedad en el enunciado, un análisis detallado de la expresión nos indica que la expresión anterior puede inducir a error pues no es claro cual cálculo es el que se desea que sea realizado. Podría interpretarse de dos formas diferentes a saber:

Si se supone que la función cos(x) se debe evaluar en 3 $\pi$ entonces la solución sería 3.
Si se supone que la función cos(x) se debe evaluar en 3 dejando por fuera a $\pi$ , la solución sería 4.88984685 aproximadamente.

Cuál es la interpretación correcta?

Para una persona con experiencia en la teoría de funciones que ya conoce los convencionalismos utilizados para evitar el uso excesivo de paréntesis en las expresiones, puede que la falta de paréntesis en el ejemplo anterior no le cause problema. Sin embargo, si tomamos en cuenta que para una primera exposición del tema a estudiantes de secundaria, la evaluación en funciones es un tema de difícil comprensión y en este caso el uso de paréntesis es indispensable. El lector puede comprobar por medio de una calculadora que en el ejemplo anterior la interpretación correcta es la segunda!!

La ambigüedad y el error del ejemplo anterior radica en el hecho de que para evitar el uso de paréntesis se ``supone convencionalmente'' que la función cos(x) se debe evaluar en la expresión situada inmediatamente a la derecha de la expresión cos que contenga una variable x o que dependa de ella. El error se produce por cuanto se ha pasado por alto el hecho de que una función es un concepto de evaluación uniparamétrico cuando se omiten los paréntesis. Esto quiere decir que si no se hace el uso adecuado de paréntesis, cualquier función empleada se evaluará en la primera cantidad que encuentre inmediatamente después de ella y dejará por fuera lo demás.

De esta manera, las cantidades:

cos 3 $\displaystyle \pi$ y cos (3 $\displaystyle \pi$ )

representan cantidades diferentes.

De hecho la simbología empleada es bastante clara en la necesidad del uso de paréntesis. Si pensamos por un momento que la simbología matemática busca entre otras cosas la claridad de conceptos evitando símbolos superfluos que oscurecen su significado, vemos que la notación

f (x)

como evaluación de la preimagen (parámetro) x en la función f debe ser realizado única y exclusivamente en el valor x. Si se eliminan los paréntesis y se escribe fx se entenderá que el criterio f se aplicará solo al valor x situado inmediatamente después. ln x + 4 debe interpretarse de forma tal que se calcule el valor de ln x y luego al resultado sumarle 4. Si lo que se desea es calcular el logaritmo natural de x + 4, entonces debe hacerse uso de los respectivos paréntesis y escribir ln(x + 4). Análogamente, si se tiene ln 4x la interpretación correcta debe ser calcular primero ln 4 y al resultado multiplicarlo por x. De hecho, el lector puede observar que no se ``ve igual'' escribir ln 4x = x ln 4 y ln x4 = 4 ln x !!. Por otro lado, si lo que se desea es evaluar 4x en el logaritmo, entonces es necesario el uso de paréntesis y escribir ln(4x) para evitar la ambigüedad anterior.

Algunos ejemplos del abuso de notación.

En la sección anterior vimos ejemplos en los que el uso (o no uso) de paréntesis en la evaluación de una función, induce por lo general a error. En esta sección veremos algunos ejemplos adicionales del cálculo superior donde se aprecian los errores que se pueden cometer por falta de una notación clara originada por el abuso del lenguaje matemático. Además, se analizan errores inducidos al no tomar en cuenta la definición exacta y completa de función. Iniciamos nuestro estudio con el siguiente ejemplo: Durante la aplicación de un examen de cálculo³ se propuso un ejercicio similar al siguiente:

Derive ln xy = 4 donde y = f (x).

El proposito del evaluador era evaluar la derivación implícita aplicada a la función ln(xy) de forma que, usando regla de la cadena, derivara el logaritmo y se calculara y' derivando el producto xy y despejando y'. O bien separar el logaritmo en una suma ln x + ln y y aplicar la derivación implícita a ln y. Sin embargo, durante la calificación del mismo se comprobó que algunos estudiantes interpretaron el ejercicio de la siguiente manera:

ln xy = 4 $\displaystyle \Rightarrow$ y = $\displaystyle {4\over {\ln x}}$

y calcularon y' sin usar derivación implícita!!

El lector podría pensar que la interpretación de los estudiantes es incorrecta ya que ``en el contexto'' el estudiante debe entender que se trata de ln(xy) debido a ``la convención'' usada. Si se hubiese querido la otra interpretación se hubiese escrito y ln x. Sin embargo, si dicha ``convención'' no se aclara al inicio del curso, la interpretación hecha por los estudiantes es perfectamente válida. Si no fuera así, entonces porqué cuando nos encontramos frente a una expresión de la forma

ln x tan x

automáticamente interpretamos, ``gracias a la convención usada'' , ln(x)^.tan(x) en vez de ln(x tan x)? Qué es lo que hace diferente la expresión ln xy con y = f (x) de la expresión ln x tan x que permita ``gracias a la convención usada'', interpretarla de forma diferente? Induce o no induce a error la convención usada?

Se deja al lector que busque el mismo la respuesta a las primeras dos preguntas las cuales esperamos pueda encontrar después de leer el presente artículo. La respuesta a la última de estas preguntas la responderemos en la siguiente sección.

Una ambigüedad similar se podría dar en el siguiente ejemplo: Calcule el dominio máximo de la función f (x) = ln(x²)

Observe que , x² $\ge$ 0 y ln(x) tiene dominio ]0, $\infty$ [. Luego el dominio máximo será R - {0} .

Supongamos por un momento que omitimos los paréntesis y escribimos f (x) = ln x². Entonces se ``podría interpretar'' de la siguiente manera: Como x² = x^.x se tendría

ln x² = ln x^.x

y como la multiplicación es commutativa se tendría

ln x² = ln x^.x = x ln x

y como ln x tiene dominio ]0, $\infty$ [, deducimos que el dominio de ln x² es también ]0, $\infty$ [!! Es esto correcto?

La respuesta a la pregunta anterior no es clara, si ``la convención usada'' para evitar el uso de paréntesis no se ha hecho de forma que no deje lugar a interpretaciones como la anterior se puede penalizar una solución como la anterior?

Otro tipo de error que se comete en forma muy frecuente es el de no analizar correctamente una función por evitar el análisis inicial del dominio máximo de la función. El ejemplo siguiente ilustra esta situación:

Consideremos la función f (x) = ln(x²) del ejemplo anterior. Su dominio máximo es como vimos $\Re$ - {0} . Sin embargo, si aplicamos leyes de logaritmos ``podemos escribir ''

f (x) = ln(x²) = 2 ln x

Solo que la segunda expresión tiene dominio máximo ]0, $\infty$ [. Cómo se explica esto?

Antes de responder la pregunta del ejemplo anterior veamos otro ejemplo sobre el mismo tema:

Grafique la función f (x) = ${3\over 4}$ (x² - 1)^2x/3

Note que para graficar la función anterior debemos analizar primero el dominio máximo de la función pero si escribimos :

f (x) = $\displaystyle {3\over 4}$ (x² - 1)^2x/3 = $\displaystyle {3\over 4}$ ((x² - 1)^1/3)^2x

(1)

el lector podrá corroborar con ayuda de un graficador que el gráfico obtenido será diferente del que se obtiene si escribimos f (x) de la forma:

f (x) = $\displaystyle {3\over 4}$ (x² - 1)^2x/3 = $\displaystyle {3\over 4}$ ((x² - 1)²)^x/3

(2)

entonces, cúal es el dominio?

En el ejemplo 5, la función f (x) = ln(x²) tiene como dominio máximo $\Re$ - {0}. Al aplicar las propiedades de logaritmo no tomamos en cuenta de que este proceso solo se puede aplicar en la intersección de los dominios de las funciones ln(x²) y 2 ln(x) que es ]0, $\infty$ [ por lo que , si se consideran ambas funciones definidas sobre los dominios máximos respectivos se obtienen dos funciones diferentes en virtud de la definición de función dada al inicio ya que los dominios de ambas son diferentes. Luego la igualdad ln(x²) = 2 ln(x) no es válida como igualdad funcional salvo que se especifique que ambas funciones están definidas en el mismo dominio.

Análogamente, en el ejemplo 6 las manipulaciones algebraicas hechas en las ecuaciones (1) y (2) cambian los dominios de definición de la función original y por tanto las segundas igualdades no son válidas como igualdades funcionales salvo que se especifique que se realicen en un dominio común. En este caso particular la ambigüedad deriva del hecho de que la función x^p/q se define como

x^px/q : = e^ln(x)

de donde vemos la necesidad de evaluar en x > 0. La composición con x² - 1 y las posteriores manipulaciones algebraicas cambian radicalmente el dominio de definición.

Convenciones usadas en la notación funcional. Algunas recomendaciones.

Los ejemplos anteriores nos ponen en claro la necesidad de establecer la convención a usarse en la evaluación de funciones para evitar el uso de paréntesis o bien no necesitar especificar el dominio de las funciones estudiadas. El problema esencial de esto es que los libros de texto empleados a nivel de secundaria no establecen esta convención y dejan que el estudiante vaya adquiriendo la destreza del no uso de paréntesis por su propia cuenta lo cual es a fin de cuenta inadecuado.

Por otra parte, el educador debe conocer al menos las reglas básicas empleadas en la convención usada de lo contrario estará sujeto a incurrir en situaciones como las anteriormente mencionadas.

De esta manera, y con el fin de dar algún tipo de directriz establecemos las siguientes reglas que son en general de aceptación universal:

En esencia, toda función f : $\Re$ $\to$ $\Re$ ; x $\mapsto$ f (x) se evalúa de forma uniparámetrica. Esto es, se evaluará en el primer valor que encuentre inmediatamente después de su invocación.
Si una función f debe ser evaluada en un producto de la forma ag(x), a $\in$ $\Re$ , h(x)g(x), o bien en una potencia de la forma (g(x))ⁿ, n $\in$ $\Re$ es necesario el uso de paréntesis. De lo contrario se estaría contradiciendo la uniparametricidad de la evaluación funcional.
Cuando se altere el criterio de una función por medio de alguna regla algebraica válida en $\Re$ , debe indicarse necesariamente el dominio o la restricción respectiva que esta generando dicho cambio.
Cuando se necesite indicar un producto de funciones es conveniente indicar el punto central que indica el producto.
El uso de las reglas anteriores o bien de cualquier otra convención que tienda a evitar el uso de paréntesis o el recargo de notación debe ser indicado en el plan didáctico inmediatamente después de las definiciones iniciales para evitar las ambigüedades que devengan de la falta de claridad notacional. En particular:
1. Cuando se eliminen los paréntesis en evaluaciones de la forma f (ax) como en cos 3x se debe indicar al estudiante como debe guiarse en la evaluación ya sea que interprete ``la cercanía'' del evaluando a la función.
2. Cuando después de una evaluación de la forma f (ax) donde se han suprimido los paréntesis aparezca una suma o resta como por ejemplo cos 3x + 4, se debe indicar al estudiante como proceder. Lo más indicado sería el uso de paréntesis.
3. Cuando aparezca un producto de funciones de la forma f (x)g(x) en el cual se han suprimido los paréntesis es necesario indicar la forma de interpretarlo, ya sea colocando un punto central o bien separando suficientemente ambas funciones de forma que se ``vea'' que se trata de evaluaciones de x en funciones diferentes por ejemplo ln(x)tan(x) = ln x^.tan x o bien ln(x)tan(x) = ln x tan x . Lógicamente se debe aclarar esta convención.
4. Dado el carácter ``convencional'' de la notación usada, es necesario indicarle al estudiante que dicha convención puede variar de un texto a otro por lo que es necesario revisar la notación usada en los libros de referencia usados.

Conclusión.

La definición de función requiere de mucha precisión en su exposición con el fin de lograr una comprensión adecuada del concepto. La evaluación de expresiones algebraicas en una función esta muchas veces sujeta a la determinación de las restricciones que genere dicha evaluación así como de las manipulaciones algebraicas de que sea objeto el criterio de la función.

Por otro lado, el desarrollo histórico de la simbología matemática y los ejemplos anteriormente mencionados, deja en evidencia que el uso de paréntesis, para indicar el evaluando en una función, no es en general un recargo innecesario de la notación, sino más bien una necesidad que evite el uso de convenciones que oscurescan el concepto.

Al lector podría parecerle de poca importancia el hacer énfasis en el uso de las convenciones notacionales cuando se habla de funciones ya que si tiene alguna experiencia en la aplicación de funciones, le pueda parecer que las convenciones se aprenden ``con la práctica'', sin embargo es necesario aclarar que para una exposición del tema a un nivel elemental de secundaria, donde los educandos conocen por primera vez el concepto de función, el desarrollo didáctico y metodológico del tema debe ser tal que no deje lugar a ambiguedades que puedan inducir a error al estudiante y lo que es peor le generen una deformación en su aprendizaje matemático. De hecho, entre menos convenciones se usen más universal será el concepto y el aprendizaje logrado.

El motivo principal para escribir estas notas fue el observar en la práctica como se cometen los errores mencionados en los ejemplos anteriores por parte de los estudiantes e incluso, en algunos casos, por los mismos profesores. Al notar que el aprendizaje del concepto de función a nivel de secundaria es en general difícil para el educando y que dicho concepto juega un rol fundamental en los cursos de nivel universitario que posteriormente debe llevar, se hace patente la necesidad de generar una dinámica que tienda a despejar cualquier tipo de duda en torno a este concepto tanto para los estudiantes como para los profesores que lo imparten.

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