| Mario Marín | Revista Digital Matemática, Educación e Internet |

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V Olimpíada Matemática Centroamericana y del Caribe.


Costa Rica, 26 de Agosto de 2003. Primer día

 

Problema 1.

Dos jugadores $A$ y $B$, juegan por turnos el siguiente juego: Se tiene un montón de $2003$ piedras. En su primer turno, $A$ escoge un divisor de $2003$, y retira ese número de piedras del montón inicial. Posteriormente, $B$ escoge un divisor del número de piedras restantes, y retira ese número de piedras del nuevo montón, y siguen así sucesivamente. Pierde el jugador que retire la última piedra. Demostrar que uno de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora y describir dicha estrategia.

Nota: Se entiende por estrategia ganadora un método de juego que le garantiza la victoria al que lo aplica sin importar lo que haga su oponente.



Problema 2. Sea $S$ una circunferencia y $AB$ un diámetro de ella. Sea $t$ la recta tangente a $S$ en $B$ y considere dos puntos $C,D$ en $t$ tales que $B$ esté entre $C$ y $D.$ Sean $E$ y $F$ las intersecciones de $S$ con $AC$ y $AD$ y sean $G$ y $H$ las intersecciones de $S$ con $CF$ y $DE.$ Demostrar que $AH=AG.$

Problema 3. Sean $a,\,b$ enteros positivos, con $a>1$ y $b>2$. Demostrar que $a^b+1 \geq b(a+1)$ y determinar cuándo se tiene la igualdad.

Tiempo: 4 horas 30 minutos. Cada Problema vale 7 puntos.

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