Final Olimpiada Matemática Nacional

| Mario Marín | Revista Digital Matemática, Educación e Internet |

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Final Olimpiada Matemática Nacional

 

Examen primer día

 

 

Ciclo A

1. Se sabe que exactamente una de las proposiciones siguientes es falsa:
   1. Andrés es mayor que Beatriz
   2. Carlos es menor que Beatriz
   3. La suma de las edades de Beatriz y Carlos es el doble de la edad de Andrés
   4. Carlos es mayor que Andrés
   ¿Cuál es los tres es el más joven?

2. Halle tres números impares consecutivos de manera que la suma de sus cuadrados sea un número de cuatro dígitos idénticos.

3. En el triángulo $ABC$, $m\angle ABC=45\ensuremath{^{\circ}}$. El punto $D$ está en $\overline{BC}$ tal que $2BD=CD$; $E$ es un punto en $\overline{AD}$ tal que $\overline{CE}$ es perpendicular a $\overline{AD}$ y $m\angle DAB=15\ensuremath{^{\circ}}$. Encuentre la medida del ángulo $\angle ACB$.

 

Ciclo B

1. Suponga que $n$ lámparas están en hilera y numeradas de $1$ a $n$ de izquierda a derecha; inicialmente cada lámpara puede estar encendida o apagada. Un juego consiste en encontrar la lámpara de mayor número apagada y cambiar su estado y el estado de las siguientes (de apagado a encendido o de encendido a apagado).
   • Verifique que si este juego se repite una cantidad suficiente de veces todas las lámparas quedan encendidas.
   • Si inicialmente todas las lámparas están apagadas, ¿cuántas veces debe repetirse el juego para que todas queden encendidas?
2. ¿Para cuántos enteros positivos $n$ entre 1 y 2002 sucede que la fracción $$\frac{n^2+12}{n+5}$$ se puede simplificar?
3. Demuestre que existe una cantidad infinita de enteros positivos $n$, tales que cumplen simultáneamente:
   • $n$ es impar
   • $n$ posee exactamente 1200 divisores
   • existen exactamente 1997 triángulos rectángulos, de lados enteros, tal que la medida de uno de sus catetos es $n$.

 

Ciclo C

1. ¿Para cuántos enteros positivos $n$ entre 1 y 2002 sucede que la fracción $$\frac{n^2+15}{n+5}$$ se puede simplificar?

2. ?'De cuántas maneras se puede diseñar una competencia entre seis jugadores de tal manera que: cuatro jugadores compitan contra un diferente número de adversarios y los otros dos contra un mismo número de adversarios?

   (Se permite que algún o algunos jugadores compitan contra cero jugadores, es decir, que no compitan).

3. Cuatro círculos de radio 1, con centros en los puntos $A$, $B$, $C$ y $D$ se encuentran en un plano, de manera que cada círculo es tangente a dos de los otros. Un quinto círculo pasa por los centros de dos de los primeros cuatro círculos y es tangente a los otros dos. Determine todos los posibles valores que puede tomar el área de $ABCD$.

  

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