Final Olimpiada Matemática Nacional

| Mario Marín | Revista Digital Matemática, Educación e Internet |

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Final Olimpiada Matemática Nacional
 

Examen segundo día

 

Ciclo A

4.
Se van a escribir números enteros en forma sucesiva y partiendo de uno hasta que se hayan usado un millón de unos. Determinar la suma de las cifras del último número escrito según la secuencia indicada.

5.
Usando los enteros del 1 al 25 sin repetir ninguno, complete el cuadrado mágico de manera que cada fila, cada columna y cada diagonal sumen lo mismo.

 

11 24     3
    25 8  
  5 13    
      14 22
23 6   2  

 

6.
Sea $ABCD$ un pentágono regular tal que la estrella formada por los segmentos $\overline{AC}$, $\overline{CE}$, $\overline{EB}$, $\overline{BD}$ y $\overline{DA}$ tiene área 1. Sea $P$ la intersección entre $\overline{AC}$ y $\overline{BE}$, $Q$ la intersección entre $\overline{BD}$ y $\overline{CE}$, $R$ la intersección de $\overline{EC}$ y $\overline{AD}$ y $S$ la intersección de $\overline{AD}$ y $\overline{BE}$.

Determinar el área de la región $APQD$.

 

Ciclo B

 

4.
Demostrar que en cualquier conjunto de 6 personas se puede siempre encontrar uno de los siguientes casos:
  1. Existen tres personas que se conocen entre sí
  2. Existen tres personas de manera que ninguna conoce a las otras dos
5.
Encuentre la suma de todos los valores de $a$ y $b$ enteros positivos, que cumplan $a^2-b^2=2000$.
6.
$ABCD$ es un trapecio con $AB$ paralelo a $CD$. Las bisectrices exteriores de los ángulos $B$ y $C$ se intersecan en $P$. Las bisectrices exteriores de los ángulos $A$ y $D$ se intersecan en $Q$. Demuestre que la longitud de $PQ$ es igual a la mitad del perímetro del trapecio $ABCD$ (figura 1).

Figura 1: Trapecio $ABCD$.
\includegraphics{figura.eps}

 

Ciclo C

4.
El rectángulo $MELO$ es tal que $ME=11$ y $EL=5$. Un triángulo $ABC$ es tal que la intersección de sus alturas es $M$, el centro de su círculo circunscrito es $E$, $L$ es el punto medio de $BC$ y $O$ es el pie de la altura desde $A$. Determine la longitud $BC$.

5.
Se dice que una recta $l:y=mx+b$ aparta máximamente a una función $f$ en un punto $x_0$ si la gráfica de $f$ tiene en común con $l$ el punto $(x_0,f(x_0))$, y además para todo $x$ en el dominio de $f$ se cumple $mx+b\leq f(x)$.

Para $f(x)=x^2$ sean $P(a,f(a))$, $Q(b,f(b))$ y $R$ la intersección de las rectas que apartan máximamente a $f$ por $P$ y $Q$. Determine el área del $\triangle PQR$ en términos de $a$ y $b$.

6.
Sobre un número natural $n$ llamaremos la generalización de $n$ al conjunto que se obtiene del siguiente proceso: SE ESCRIBE EL NÚMERO EN CUALQUIER BASE Y SE OBTIENEN TODOS LOS NÚMEROS QUE RESULTEN DE PERMUTAR ESOS D´IGITOS PARA TODA BASE MENOR QUE $n$.

Demuestre que si $p>7$, alguno de los números en la generalización de $p$ no es primo.


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