Problemas de Olimpiadas 2

1. Un recipiente está lleno inicialmente con 16 galones de ácido puro. Se extraen cuatro galones del recipiente y se sustituyen por agua pura. Entonces se sacan nuevamente cuatro galones del recipiente y se vuelven a sustituir por 4 galones de agua. Cuántas veces ha de repetirse el proceso para lograr que la cantidad de ácido en el recipiente sea menos de 1 galón.

2. [OIM, 1993 ] Determine todas las funciones de los enteros positivos en si mismos que cumplan las condiciones: 

    

   1. f es estrictamente creciente.
   2. x, y enteros positivos se cumple:
      f (yf (x)) = x²f (xy)

3. Pruebe que si 102 enteros son seleccionados sin repetir del conjunto {1,2,3,...,200,} entonces entre los números seleccionados hay dos enteros tales que uno divide al otro.
4. Sea a un entero positivo impar mayor que 17 de modo que 3a-2 es cuadrado perfecto. Demuestre que existen enteros positivos distintos b y c de modo que a + b, a + c, b + c, y a + b + c son cuadrados perfectos.