¿Qué de sorprendente tiene el teorema el teorema de Pitagóras hoy día?  A la autora de esta nota, aún le parece impresionante la fuerza de este teorema y de sus generalizaciones más conocidas: la ley de los cosenos y el teorema referido a otras figuras geométricas regulares. En esta nota se mostrará otra generalización que se refiere a triángulos cualesquiera y a paralelogramos cualesquiera.

Empecemos por una demostración del teorema de Pitágoras puramente geométrica:

Tenemos un triángulo rectángulo . Construimos los cuadrado y

El paralelogramo tiene la misma área que el cuadrado : los dos tienen base igual y la misma altura.

Pero , ya que son lados opuestos de paralelogramos. y tiene la misma área que el por tener igual base y la misma altura.

Como el triángulo , , y tenemos que el rectángulo tiene la misma área que el

Análogamente, el paralelogramo tiene la misma área que el cuadrado ; y tiene la misma área que . Y el rectángulo tiene la misma área que .

Pero los rectángulos y forman el cuadrado de lado

El teorema que demostraremos ahora, es una generalización del anterior. Se debe al gran geómetra griego Pappus (320 AD).

Tomamos un triángulo cualquiera Sobre dos de sus lados (por ejemplo, en los lados y construimos paralelogramos cualesquiera, (en este caso el Y EL ) El tercer paralelogramo se construye así:

Se prolongan los lados de los paralelogramos construidos. Sea el punto de intersección de dichos lados; entonces. tiene la magnitud y la dirección de los lados del tercer paralelograma; en este caso el . Es decir, y son paralelos e iguales a .

Esta generalización del Teorema de Pitágoras asegura el área de es igual a la suma de las áreas y . Nótese que si el triángulo es rectángulo y los paralelogramos son cuadrados, tenemos (como caso particular) al Teorema de Pitágoras. La demosración de este teorema se basa exactamente en la que hicimos más arriba del de Pitágoras; es decir, en encontrar áreas iguales.

Construimos y , alturas de los paralelogramos y respectivamente.

El paralelogramos tiene la misma área que el , por tener base igual y la misma altura. Pero el paralelogramos tiene la misma área que el , por la misma razón: por construcción, y la altura es común para los tres paralelogramos.

Análogamente, las áreas de los paralelogramos , y son iguales.

De aquí tenemos que el paralelogramos tiene área igual a la suma de los paralelogramos construidos sobre los otros dos lados.