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Enseñar probabilidad en primaria y secundaria? ¿Para qué y por qué? |
Liliana Jiménez M., José Rafael Jiménez F. |
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Enseñar probabilidad en primaria y secundaria? ¿Para qué y por qué?
Liliana Jiménez M.,
José Rafael Jiménez F.
Resumen:
Este trabajo va dirigido a maestros y profesores de
Matemática.
En él se exponen algunas reflexiones sobre la necesidad de
abordar, en nuestros días, los conceptos de incertidumbre y
probabilidad en la educación primaria y secundaria. Además se
proponen algunos modelos de ejercicios que los introducen, con
algunos comentarios didácticos para orientar el proceso.
Por otra parte, se trata de provocar más discusión acerca de la importancia de enseñar el tema de probabilidad a nivel tanto de secundaria como de primaria, ya que es reconocido que en el ámbito costarricense, los objetivos de este tema son dejados de lado con mucha frecuencia.
Palabras Clave: Incertidumbre, probabilidad, azar en la enseñanza.
IntroducciónEn los programas de estudio de Matemática para segundo y tercer ciclo, del Ministerio de Educación Pública de Costa Rica (M.E.P.), se incluye entre los contenidos por estudiar, algunas nociones ligadas a los temas de Probabilidad y Estadística. Sin embargo es conocido que en repetidas ocasiones estos temas no se cubren, al menos en secundaria. Esto ocurre, entre otras razones, porque el tiempo lectivo que propone el M.E.P. para cubrir los programas a veces resulta insuficiente. Esto último, aunado al hecho de que dichos temas hasta el año 2003 no eran evaluados en las pruebas nacionales de conclusión de ciclo, ha provocado que muchos profesores los dejen de lado. Amén de esto, se puede agregar que muchos docentes no son conscientes de la importancia que puede tener para un estudiante poseer como parte de su cultura un buen manejo de la noción de incertidumbre. Además, podemos decir que, respecto a la enseñanza secundaria, en Costa Rica nos estamos quedando rezagados, en lo que al tema de probabilidad se refiere. Al analizar los planes de estudio vigentes se nota la balanza inclinada hacia los temas tradicionales: aritmética, geometría, álgebra y las funciones. Solamente se considera en octavo año el estudio de algunos elementos de estadística descriptiva elemental y en primaria escasamente dos o tres nociones introductorias al tema. Por esta razón nos hemos propuesto en este trabajo, en primer término, dilucidar por qué es importante enseñar el tema de probabilidad, en la Sección 2. En las secciones siguientes se presentan unos modelos de ejercicios y situaciones, acompañados de comentarios sobre cuándo presentarlos, cuáles intenciones llevan y qué conceptos se trata de explotar en ellos; en la Sección 5 se proponen actividades para la primaria y en la Sección 6 para la secundaria. ¿Por qué enseñar Probabilidad? La matemática sirve para modelar situaciones que se presentan en campos de la vida cotidiana a través de diferentes ciencias como la física, química, economía, biología, etc.; además juega un papel importante en el desarrollo tecnológico. De esta manera el saber matemático se puede considerar como un instrumento con el que es posible, a través de otras ciencias, reconocer y transformar la naturaleza y la sociedad. En las últimas décadas el hombre ha sido testigo del gran incremento en la cantidad de avances científicos y tecnológicos en la sociedad moderna, en consecuencia, del cambio que esto ha provocado en el desarrollo industrial, la organización económica y social de los países. Sin embargo, al tratar de modelar los fenómenos de la naturaleza, el hombre se ha encontrado con que hay situaciones que obedecen a un modelo determinista y otras que en cambio obedecen a un modelo aleatorio. Por ejemplo, en el caso de los científicos sociales es más difícil descubrir principios fundamentales que respondan a la inmensa complejidad de los fenómenos que se proponen estudiar, que para los investigadores de las ciencias naturales explicar las leyes de la caída libre. El fenómeno de la "prosperidad'' nacional es aún más complicado. Además de los millones de voluntades y glotonerías humanas que la esculpen, están de por medio los recursos naturales, las relaciones con otras naciones, las perturbaciones causadas por la guerra, entre otras. Sin embargo estas dificultades que agobian a los científicos sociales son parecidas a las que algunas veces sufren los biólogos, por ejemplo cuando se trata de explicar el funcionamiento del cerebro humano o las leyes de la genética, o los físicos cuando tratan de explicar el estado de las partículas atómicas y subatómicas de la materia. Como lo señala Kline: "Afortunadamente, las ciencias sociales y las biológicas han adquirido un método matemático, nuevo por completo, de obtener información sobre sus fenómenos respectivos: el método estadístico. (...) Sin embargo, con el uso de los métodos estadísticos, ha surgido también el problema de determinar la confiabilidad de los resultados. Este aspecto de la estadística se trata por medio de la teoría matemática de la probabilidad.'' (Kline, 1998, pág 496) Igualmente, al hacer la planificación de proyectos industriales o el estudio y control de sistemas económicos complejos, el hombre se ha visto obligado a explorar y aprender nuevos métodos que hagan más eficiente su manejo. El desarrollo de estos métodos también ha contribuido a un aumento de la actividad dentro de ciertos campos de las matemáticas aplicadas, como por ejemplo, la Probabilidad, la Estadística, Teoría de Colas, Teoría de Fiabilidad entre otras. Así mismo se puede agregar, como lo expresa Wakely en el prólogo al libro de J.C. Turner, Matemática moderna aplicada: probabilidades, estadística e investigación operativa, el aumento de la capacidad de los computadores ha hecho factible su utilización para explorar de una manera más amplia las implicaciones de los modelos matemáticos en los diferentes campos económicos o tecnológicos. Continúa: "Como resultado de ello, la industria (y en sentido amplio, la nación), necesita ahora de las matemáticas, y del modo de pensar matemático, de una manera sin precedentes en la historia. (...) Hoy en día un joven ejecutivo no puede considerarse a sí mismo persona culta si no hace más que inclinar la cabeza ante estos métodos.''(Turner, 1981, pág 9) Con todos estos cambios, la sociedad se ve inevitablemente obligada a adaptar y reestructurar su sistema educativo, para cumplir con su compromiso de formar a los individuos que la componen. Debe considerar que una persona que vive en esta sociedad moderna debe tener una idea más clara de aquellos fenómenos de carácter aleatorio, ahora más que en el pasado, ya que se cuenta con más información acerca de cómo los cambios en su vida se pueden ver influenciados por ello. Veamos algunos casos que lo ilustran: Cada mañana cuando se dirige al trabajo, un individuo tiene la confianza de que llegará. Sin embargo todos los días muchas personas salieron de sus casas y no lo lograron; esto lo conduce a pensar en los riesgos que debe asumir y los eventuales seguros que debe tomar. Al escoger el banco para sus operaciones un individuo espera que éste tenga solidez; no obstante, todas las decisiones tienen alguna incertidumbre, que se refiere a aquellas situaciones que no se pueden controlar, pero que influirán en el resultado. Si un joven decide iniciarse en el fumado, hoy día existe mucha información que indica una medida sobre el riesgo de enfermar de cáncer. Dacunha en su libro "Chemins de L`Aleatorie. Le hasard et le risque dans la société moderne.'', señala que el azar ha sido un recurso que han utilizado algunas sociedades para resolver diversas situaciones y que en nuestra época hasta se ha intentado utilizar en la asignación de empleos. Agrega, hay que aprender a dudar, a reconocer la incertidumbre, a saber que ella es parte del ejercicio de la ciudadanía. Los ciudadanos deberían integrar a su juicio la dimensión de lo aleatorio, cuando se trata de su responsabilidad individual y de la responsabilidad del estado. De esta manera, específicamente en lo que se refiere a la enseñanza de la matemática, al menos en el nivel de secundaria en nuestro país, se debe incluir en los programas el concepto de aleatorio. Además, enseñar un conjunto de teorías que den acceso a los estudiantes a los elementos básicos de probabilidades, que le permitan tomar decisiones en su vida cotidiana y contar con una formación mínima para que puedan desarrollarse desde esa perspectiva en cualquier campo profesional o científico. "La probabilidad tiene la enorme cualidad de representar adecuadamente la realidad de muchos procesos sociales y naturales, y, por lo tanto, su conocimiento permite comprender y predecir mucho mejor el mundo en que vivimos'' (Pérez y otros, 2000, pág 15). Solo así se logrará cumplir con el compromiso de formar un individuo que pueda manejar los conceptos básicos del siglo XXI.
Pinceladas de historia Los primeros pasos en la teoría de las probabilidades fueron dados por el matemático y médico italiano Jerónimo Cardano (1501-1576). Se dice que Cardano era un jugador y que inclusive algunas veces estuvo en la cárcel a causa de sus trampas y pillerías. Él decidió que si iba a usar su tiempo en juegos de azar, aprovecharía para aplicar la matemática y así sacaría provecho de su pasatiempo. Procedió a estudiar las probabilidades de ganar en varios juegos de azar y publicó sus reflexiones de la materia en su libro "Liber De Ludo Aleae'' (El libro de los juegos de azar). "Este libro es un manual del jugador, en el cual se enseña a hacer trampas lo mismo que a descubrirlas''. (Kline, 1998, pág 518) Más tarde, en 1653, otro jugador y matemático, el llamado Caballero de Méré, se interesó por la relación entre la matemática y los juegos de azar. "De talento limitado, remitió a Pascal algunos problemas sobre el juego de dados. Y éste, en colaboración con Fermat, hizo avanzar un poco más el estudio de la probabilidad. Cardano resolvió sólo unos cuantos problemas de probabilidades; Pascal concibió toda una ciencia. Se propuso reducir a un arte exacto, con el rigor de la demostración matemática, la incertidumbre del azar, fundándose así una nueva ciencia que con justicia reclamaría para sí el asombroso título de: las matemáticas del azar. Cardano, Pascal y Fermat llegaron a la probabilidad pasando por los problemas de los juegos de azar.'' (Kline, 1998, pág 518) Aunque esta teoría nace como una aplicación de la matemática a los juegos de azar, su estudio se fue profundizando cuando se necesitaron otras aplicaciones. Esto se puede observar en el trabajo de Laplace, con su problema de determinar la exactitud de las observaciones astronómicas o en procesos de muestreo al aplicar algunos métodos de la estadística, que introducen inevitablemente la posibilidad de error. O en la biología con Mendel, en sus trabajos de genética. Todo trabajo científico depende de la medición, pero toda medición es aproximada. Los científicos buscan minimizar las inexactitudes haciendo muchas mediciones de una misma cantidad y luego tomando la media de las cantidades medidas. Pero aquí cabe preguntarse, ¿cuán confiable es la media calculada de las mediciones reales? Kline lo explica de esta manera. "Es deplorable la falta de certidumbre en algunas fases del trabajo científico, pero esto no es un obstáculo insuperable. Muy poco de lo que esperamos que nos ocurra en el porvenir es cierto. ¿Cómo se procede ante la incertidumbre? Descartes señaló el curso que seguimos todos, consciente o inconscientemente: "Cuando no está en nuestra mano determinar lo que es verdad, debemos actuar de acuerdo con lo que es más probable.'' En nuestra evaluación diaria de probabilidades, nos contentamos con estimaciones burdas, es decir, con sólo saber si la probabilidad es alta o baja. Al cruzar una calle hay incertidumbre, pero la cruzamos porque, sin hacer el cálculo respectivo, sabemos que es alta la probabilidad de sobrevivir al hacerlo. Pero en el trabajo científico y en las empresas de gran envergadura tenemos que hacerlo mejor. Ya no podemos aceptar estimaciones bastas, sino que debemos calcular con exactitud las probabilidades, y aquí es donde entra en juego la teoría respectiva.'' (Kline, 1998, pág 519) La necesidad de una teoría de probabilidades surge cuando se estudian experimentos donde interviene el concepto de incertidumbre. Por eso se propondrán algunas actividades que involucran juegos para acercar al estudiante a las nociones de incertidumbre y probabilidad.
Algunas consideraciones generales para una propuesta didáctica En las líneas anteriores se ha comentado la importancia que tiene la probabilidad en el mundo moderno, tanto para el desarrollo científico como para la cotidianeidad de cada persona. Se hace importante entonces considerar cuales son aquellos aspectos en los cuáles se debe fijar la atención para lograr que las probabilidades se inserten en el bagaje cultural de esta sociedad moderna. En Costa Rica, el estudio de las probabilidades se ha restringido fundamentalmente a las aulas universitarias, especialmente para los estudiantes de matemática y las ciencias económicas. También estudian este tema pero en menor grado los estudiantes de ciencias sociales y de ingeniería. De aquí surge la necesidad de plantearse la inserción de la probabilidad en la educación general básica y el ciclo diversificado. Por supuesto que esto plantea un reto, en el sentido de que será un conocimiento nuevo, y que como tal ofrecerá la resistencia de los padres y de las autoridades. En un primer momento se debe empezar a introducir, ampliar y desarrollar el concepto de "ENSEÑANZA DE LA PROBABILIDAD''. Hace algunos años se desarrollaron trabajos de investigación sobre la enseñanza del cálculo, la enseñanza del álgebra y de la enseñanza de la geometría, haciendo un análisis histórico y metodológico. Le ha llegado el momento a la enseñanza de la probabilidad. Para desarrollar trabajos de investigación en torno a la enseñanza de la probabilidad, es necesario que se planteen preguntas interesantes cuyas respuestas sea preciso determinar para continuar el estudio de dicho tema. Estas preguntas deben referirse a aspectos fundamentales y tener la amplitud y la profundidad necesarias para que sus respuestas repercutan directamente en el desarrollo de la enseñanza de la probabilidad. Algunas posibles preguntas son:
En las dos secciones siguientes, se expondrán algunos ejercicios que al docente le podrían servir de modelo para generar otras actividades tendientes a introducir algunos de los conceptos de la teoría de las probabilidades y a desarrollar la noción de incertidumbre. Para una mayor comprensión se dividirán las actividades en: actividades para la escuela primaria y actividades para la escuela secundaria. Se procurará no entrar en mucho detalle en cada actividad, sino plantearlas en forma general haciendo consideraciones metodológicas para el profesor y adaptándolas al desarrollo intelectual del alumno.
Actividades para la primaria La escuela primaria debe ser el lugar donde el estudiante se enfrente por primera vez a la probabilidad. Los docentes encargados deben tener la suficiente solidez en su formación para poder desarrollar adecuadamente esta tarea --aunque pareciera que son ellos quienes tienen más deficiencias en su formación sobre probabilidades--. Es importante que éstos tengan un dominio básico de la aritmética, de las fracciones, comprendan las operaciones básicas de la teoría de conjuntos, reconozcan si una variable es cualitativa, discreta o continua, interpreten gráficas y tablas de datos, comprendan modelos sencillos de experimentos aleatorios y planteen distintas actividades que ilustren esos modelos. Deben también los maestros, tener la capacidad de hacer una ubicación histórica, sencilla pero cierta, de las probabilidades, además de una idea clara de sus aplicaciones, de manera que éstas no resulten una amenaza para el entorno del estudiante, y se eliminen prejuicios. Esto último se podría lograr si se motiva al alumno con actividades en forma de juegos, pero además, si se indica la importancia de las probabilidades en el mundo actual, tales como los seguros, la salud, los negocios o la asignación de empleos. Una propuesta de actividades didácticas para la primaria Utilizando colores
Comentarios de las actividades En estas actividades se busca iniciar al alumno con experiencias aleatorias, de manera que pueda decir cuáles son los posibles resultados y cuáles pueden ocurrir con más frecuencia, usando recursos de fácil manejo y atractivos para el niño. En las actividades 1 y 3 los eventos simples son equiprobables, mientras que en la actividad 2 no lo son. En la actividad 4 el niño debe seguir el modelo de las actividades anteriores pero el experimento es mental, en el sentido que el texto le describe la experiencia pero no tiene la presencia física de la caja con las bolas.
Combinando nombres
Comentarios de las actividades Las técnicas de conteo permiten al estudiante reconocer un universo de eventos donde debe trabajar. Este es un elemento necesario para que él pueda llegar a establecer una asociación entre un determinado evento y una medida de la incertidumbre. En espacios de probabilidad discretos, para asignar una medida a la incertidumbre de un cierto fenómeno aleatorio, se requiere determinar el número de eventos favorables entre la totalidad de eventos posibles. De esta manera se hace necesario desde la primaria introducir a los estudiantes a las diferentes técnicas de conteo, aunque no se llegue a formalizar la teoría. Así se irán desarrollando las estructuras mentales necesarias para etapas posteriores donde sí se requiere de la formalización de resultados, trabajo que por cierto algunos investigadores han señalado como difícil de enfrentar para los estudiantes. André Antibi, en su libro Didácticas de las Matemáticas. Métodos de Resolución de Problemas[1], se refiere a esta problemática. Muestra el grado de dificultad que presentan, tanto para profesores como estudiantes desde los liceos, los problemas de conteo. Señala que dichos problemas tienen al menos dos puntos en común: a menudo no se está seguro de su resultado y por otro lado muchas veces resultan difíciles. Con las actividades mostradas en esta sección, se busca que el alumno se inicie en técnicas de conteo y a la vez que en el proceso se institucionalice --desde el punto de vista de la teoría de las situaciones de Brousseau-- un procedimiento que éste pueda utilizar, además de distinguir las condiciones en las cuáles se aplica.
Usando dados El uso de los dados en la escuela primaria plantea el inconveniente que el alumno confunde el nombre del evento con la frecuencia de la ocurrencia. Así, puede ocurrir que si se lanza un dado el alumno crea que un 5 puede obtenerse con frecuencia cinco sobre seis. Es por esto necesario que se trabaje con dados que tengan en sus caras colores, dibujos de animales, ciudades, países, palabras, alimentos, hábitos, actividades, etc. Esto permitiría al maestro desarrollar actividades donde el niño lance el dado y pueda realizar una actividad complementaria. Por ejemplo, si sale "Argentina'', decir cuál es la capital. O si sale "dormir'' el niño simula que duerme y el maestro aprovecha para hacer un comentario sobre la importancia del sueño. Así aparece el dado y el azar como un recurso del aula que permite utilizarse en otras actividades. Es importante también desarrollar actividades como "lance dos dados y diga el resultado de multiplicar los dos números de las caras''.
Comentarios generales de las actividades propuestas
Actividades para la secundaria Se propone que se enseñen los siguientes contenidos agrupados de la siguiente manera:
El tema 1 se puede desarrollar en sétimo y octavo, el tema 2 en noveno y décimo, y el tema 3 en undécimo año.
Una propuesta de algunas actividades didácticas para la secundaria
En esta sección se presentarán modelos de ejercicios ilustrativos para introducir el tema de probabilidades en secundaria. No se va a entrar en detalles en éstos, porque alargaría demasiado la exposición, dada la densidad del tema. La idea es que en este nivel, aprovechando los conceptos y habilidades que traen los estudiantes de primaria, se vayan introduciendo las definiciones y teoremas necesarios para la comprensión de la teoría de probabilidades, formalmente. Es muy importante dejar claro, en las primeras discusiones, que los fenómenos estudiados por la probabilidad cumplen con las siguientes características:
Técnicas de conteo
Cálculo de probabilidades de variables aleatorias discretas
Es importante que el estudiante conjeture con cuál de los cartones podría tener más éxito. Para esto el profesor debe orientarlo para que analice la probabilidad de que se obtenga cada uno de los números y también observe su correspondiente posición en el cartón. No es lo mismo que aparezca en un cartón una fila o columna con el 6, 7 y 8, que tener estos mismos números desordenados en el cartón. o que no aparezcan estos números del todo.
Definición "Un fenómeno es aleatorio si se conocen todos los resultados posibles, pero no se puede decir con seguridad cuál de ellos ocurrirá en un caso particular'' (Pérez y otros, 2000, pág 27) Indique si los siguientes sucesos son aleatorios. a) Una situación de la vida cotidiana cuya ocurrencia dependa del azar. b) Un hecho científico cuya ocurrencia es aleatoria. c) Un hecho de la vida cotidiana cuya ocurrencia parece ser aleatoria pero no lo es. d) Un hecho científico cuya ocurrencia parece ser aleatoria pero no lo es.
Conclusión Una manera de contribuir a mejorar la enseñanza de la teoría de las probabilidades en nuestro país, es por medio de la investigación. Las interrogantes planteadas en la Sección 4 de este trabajo deberían desarrollarse en proyectos de investigación o acción social, o bien, en tesis de licenciatura o maestría, dada la necesidad de aclarar dichos puntos. Por otro lado, si se busca que una propuesta acerca de profundizar más en la enseñanza de la teoría de las probabilidades en Costa Rica tenga éxito, es indispensable que las instituciones de educación superior tomen el asunto en sus manos, tanto apoyando investigaciones como las que se proponen en este trabajo, como con la labor de impulsar planes de capacitación en dos direcciones: una para formar a los docentes que nunca estudiaron los temas de Probabilidad y Estadística; otro que ayude a refrescar a los que olvidaron estos temas. Además, se hace necesario incluir cursos específicos de Probabilidades en el plan de estudios de los maestros de primaria en el que se brinde todo lo necesario para que se desenvuelvan con soltura. Así mismo, es importante tener en consideración que el futuro maestro o profesor se forme también en cuanto a la historia de la matemática, en este caso, específicamente en el área de la Probabilidad. Deben conocerse los principales aportes de los matemáticos en este campo, cuáles problemas se estudiaron y de qué manera los enfrentaron, ya que esto podría facilitar su comprensión. Por último, dado que la Teoría de Probabilidades clásicamente usa el lenguaje de la Teoría de Conjuntos, es importante que esta última se retome en los planes de estudio de matemática, tanto en la formación de docentes como en los programas oficiales. El estudio conjunto de algunos conceptos podría ser beneficioso para los estudiantes.
Bibliografía
Cidse
- Revista
virtual Matemática, Educación e Internet - ITCR
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de la suma de las caras superiores.
ó
? Explique. 
?
),
usando sus resultados en la tabla 1: 
, pág. 33-115. Tradución al
español por Centeno, J.; Melendo, B.; Murillo, R.