Sobre finitud de las series...

  

Ing George Braddock  S..
   
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Sobre la finitud de las series de potencias infinitas de tipo geométrico-polinomiales1





Resumen

Una investigación que inicié a mediados del año 2004, para tratar de encontrar cómo pudieron hacer los matemáticos de fines del siglo XVII, para encontrar la suma de algunas series de potencias infinitas, como por ejemplo la serie $\,\sum_{k=1}^\infty {{ k}^3 { \left( {\frac{1}{2}} \right)}^k } \,$, la pude concluir exitosamente.

A ese tipo de series yo las llamo geométrico-polinomiales, ya que son series geométricas, con coeficientes dados por una función polinomial $\,P_{n}(k)\,$, de grado $\,n.\,$

Usando técnicas similares a las que usaban los matemáticos de aquellos tiempos, encontré un procedimiento que nos permite reagrupar los términos de la serie y expresarla con relación a las diferencias entre sus coeficientes.

Este procedimiento lo demostré formalmente con el Teorema 1 que, por medio de la fórmula


\begin{displaymath} \sum_{k=0}^\infty a_k r^k = a_0 S + \sum_{k=1}^\infty \left(a_k - a_{k-1} \right) r^k S \end{displaymath}



nos muestra como expresar una serie geométrica infinita con relación a las diferencias finitas de sus coeficientes.

Aplicándole veces la fórmula anterior a la serie infinita, obtuve una serie finita equivalente a ella. Esto lo demostré formalmente con el Teorema 2 y el Teorema 3 que, con la fórmula


\begin{displaymath} \sum_{k=m}^\infty {{{ \Delta }_0^k }} { r}^k = \sum_{k=0}^n { \Delta _k^m } { r}^{k+m} S^{k+1} \end{displaymath}



donde $\,\Delta _i^k \,$ representa las i-ésimas diferencias finitas de la función polinomial. Esta fórmula nos dá la serie finita que converge exactamente al mismo valor que la serie infinita original.



Palabras claves: Series, Series de Potencias, Series Infinitas, Series Geométricas, Funciones Polinomiales, Diferencias Finitas, Cálculo de Diferencias Finitas, Bernoulli.



"Así como lo finito infinita serie encierra
Y en lo ilimitado limites aparecen,
Así el alma de la inmensidad en minucias reside
Y los límites no existen en los más estrechos límites.
¡Que gozo el discernir en el infinito lo pequeño!
¡De dioses es percibir en lo minúsculo lo inmenso!''

Jacob Bernoulli 2

 

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