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Los números reales según Cantor y Dedekind.
Una Propuesta Didáctica

Geovany Sanabria B
Escuela de Matemática
Instituto Tecnológico de Costa Rica

 
 

1. Introducción: La realidad de la enseñanza de los números reales

El fenómeno de transposición didáctica de los números reales en uno de sus tantos aspectos presenta un buen panorama, nuestro entorno cuenta con una buena calidad de textos del saber y con profesionales que los pueden "narrar'' de diversas maneras, si bien no son muchos pero se cuenta con ellos.

Conforme dicho fenómeno avanza, el buen panorama que se tenía al inicio se desvanece. A nuestros docentes el estado les brinda un programa muy deficiente y no exige ni incentiva un mayor nivel de preparación, además los libros de texto que se encuentran en el mercado muestran un progresivo desgaste moral sobre el tema, no presentan maneras novedosas de introducirlo. En otras palabras, el docente recibe un Saber a Enseñar muy deficiente, el tiempo didáctico legal (los programas del MEP) que se asigna es poco planificado, la tasa de fracaso es elevada y generalmente el docente inducido por el tiempo asignado, estipula en el contrato didáctico la aprehensión de los aprendizajes sin que una buena parte de sus alumnos hallan superado la contradicción antiguo-nuevo. Entonces, ¿Por qué hay un gran nivel de fracaso en matemática si lo exigido en su mayoría es a un nivel sintáctico? ¿Será que aprender sintaxis sin semántica es muy difícil y se olvida rápido?

Además la poca enseñanza de los reales no ha sido renovada ni modificada desde hace años, por lo que el fenómeno de transposición no esta muy lejos de colapsar en una obsolescencia externa (ocurre cuando el objeto de enseñanza ha envejecido en relación a la sociedad en general, el saber enseñado y popular no están distanciados).

En el trabajo realizado se ha evidenciado que la raíz del problema se encuentra en la noosfera (autoridades encargadas de redactar los programas de estudio) donde se planifica el `Saber Enseñar'. Además los textos del saber que utilizan son desvirtuados, los libros de texto son poco atractivos y se reducen a las representaciones y a la sintaxis.

La propuesta que se expone a continuación está orientada al paso del Saber sabio al Saber a Enseñar, y se desarrolla a partir de una priorización de los textos del saber que presentan los números reales vía construcción sobre la presentación vía axiomatización, en la introducción de los números reales.

 

2. Las construcciones de $\mathbb{R}$

La construcción formal de $\mathbb{R}$ a partir de $\; \mathbb{Q}\;$ es presentada principalmente por Cantor y Dedekind. Cada uno de estos matemáticos adopta una manera distinta de ver la continuidad de $\mathbb{R}$ de acuerdo a las propiedades que se conocían. Es decir, de acuerdo a las propiedades propias de $\mathbb{R}$, cada uno halla una herramienta que, "estando'' en $\; \mathbb{Q}\;$ y asumiendo la no existencia de $\mathbb{R}$ les permite detectar las discontinuidades de $\; \mathbb{Q}\;$. ¿Cuál es la herramienta utilizada?

En el paso de $\mathbb{Z}$ a $\; \mathbb{Q}\;$ se perdió el axioma del extremo superior, sin embargo, se obtuvo como ganancia un campo totalmente ordenado, la idea es construir un conjunto $\mathbb{R}$ que conserve esta propiedad y retome el axioma del extremo superior.

La construcción de Cantor define sobre el conjunto formado por las sucesiones de Cauchy de racionales $C(\mathbb{Q})$, una relación de equivalencia que establece que dos secesiones son equivalentes si su diferencia es infinitesimal. Luego se prueba que el conjunto formado por las clases de equivalencia obtenidas es un campo y lo denomina $\mathbb{R}$ e identifica con un monomorfismo a $Q$ con un subconjunto de $\mathbb{R}$.

Por otro lado, Dedekind, parte la definición de cortadura: una cortadura (izquierda) $\alpha $ es un subconjunto de $\mathbb{R}$ con las siguientes propiedades: $\alpha \,\ne \,\; \mathbb{Q}\; $; si $ p \in \alpha $, $q \in \; \mathbb{Q}\; $ y $q < p$ entonces $q\in \alpha $; si $ p \in \alpha $ existe $q\in \alpha $ tal que $q>p$. Luego se define $\mathbb{R}$ como el conjunto de cortaduras, mediante un monomorfismo se identifica cada número racional $\mathbb{R}$ con la cortadura $r$ en $\mathbb{Q}/ r<p$, de esta forma se obtiene que $\mathbb{Q}$ es subconjunto de $\mathbb{R}$.

 

3. Comparación de las dos construcciones

Una comparación detallada de algunos elementos de las construcciones nos permitirá considerarlas como un texto de saber unificado.

Ambas construcciones comparten una idea central: no se puede decir explícitamente cuáles son las discontinuidades de $\; \mathbb{Q}\;$, por que se escapan de nuestra realidad. Así, se tiene un conjunto $\; \mathbb{Q}\;$ue con las operaciones suma y producto forman un campo totalmente ordenado que no cumple el axioma del extremo superior. La matemática insatisfecha con esto, procede de una manera atropellada a la realidad y crea un conjunto $\mathbb{R}$ formado por $\; \mathbb{Q}\;$gregándole esos supremos que ocupa, que son percibidos como fantasmas que por un milagro divino fueron creados en $\mathbb{R}$.

Así, ambas construcciones recurren a definir esos fantasmas como el método o la herramienta que puede detectarlos, o mejor dicho como el objeto que necesita de su existencia. Es decir, el número real es una clase de equivalencia de sucesiones de Cauchy o una cortadura, pero realmente lo que esta implícito es que el número real es a lo que converge las sucesiones de la clase o el extremo superior de la cortadura respectivamente.

Lo anterior quiere decir que van construir por la víspera, saben de ante mano las propiedades de la obra que van a realizar. Cantor sabe que una propiedad que caracteriza a $\mathbb{R}$ y lo diferencia de $\mathbb{Q}$, es: toda sucesión de Cauchy es convergente en $\mathbb{R}$, y además todo número real se puede aproximar por una sucesión de Cauchy de números racionales.

Por otro lado, Dedekind, se vale de la densidad de $\mathbb{Q}$ en el orden de $\mathbb{R}$, así entre el "inexistente'' número real y un racional menor que él, siempre hay otro racional, por lo que considera todos los racionales menores que el real para definirlo.

Ambas construcciones se relacionan. Cantor, debe tomar todas las sucesiones de racionales que convergen a un mismo número real x para definirlo; cada una de estas sucesiones $(x_{n})$ cumple

$\forall \varepsilon \,> 0:\exists k\in \; \mathbb{N}\;$ tal que $\vert x_{n} - x \vert <\varepsilon \;\forall n > \; \mathbb{N}\; \leftrightarr... ..._{n} \, \in ]x - \varepsilon ,\, x + \varepsilon[ \;\forall n > \; \mathbb{N}\;$

 

es decir siempre van a existir racionales en cualquier intervalo abierto que contenga a $x$, y esto es la densidad de $\; \mathbb{Q}\;$ en el orden de $\mathbb{R}$ (idea de Dedekind ).

En cuanto al axioma del extremo superior, para Dedekind probarlo es muy sencillo, ya que obedece a su intuición inicial de cómo definió cortadura, valga decir como aquel conjunto que necesita un extremo superior. Para Cantor, la prueba requiere un tratamiento más delicado, aquí es necesario contar con la arquimedianidad de $\mathbb{R}$.

 

4. Concepción de la propuesta: ¿Qué hacer en secundaria? ¿Cómo contar un buen cuento?

En secundaria, es un pecado hablar del axioma del extremo superior, algunos profesores no establecen ninguna relación de $\mathbb{R}$ y este axioma, incluso los texto de secundaria actuales no lo nombran ni el programa del MEP.

Además, se debe desechar la famosa anécdota de que $\; \mathbb{Q}\;$ no es completo porque en él no se pueden resolver ecuaciones como $x^{2 }- 2= 0$. Esta historia desvirtúa totalmente la idea de continuidad de $\mathbb{R}$, pues es válida solo para los números algebraicos y cuando los alumnos vean la imposibilidad de resolver en $\; \mathbb{R}\;$cuaciones como $x^{2}+1=0$, se dan cuenta que ese conjunto ya no es tan completo como se decía, pues algunas no se pueden resolver.

Entonces, ¿Qué hacer? La respuesta no es fácil, pero una primera aproximación a ella la señalan las construcciones: ver el número real no como un nuevo número sino como el detector que se posee para caracterizar esos números. A primera vista, esta propuesta pareciera descabellada y sin duda muchos brincarían, pero si vemos la realidad, Cantor y Dedekind son unos genios, pues pintaron la realidad fielmente:

Vimos en un mundo numerable, cuando el estudiante conoce a $\mathbb{Q}$, este puede respirar tranquilo por el resto de la vida, ya que todos las situaciones las podrá modelar (con $\; \mathbb{Q}\;$ basta para vivir). El Carpintero trabaja con triángulos rectángulos de hipotenusa raíz de $2$, sin necesidad de conocerlo. El científico, las computadoras y la tecnología en general usan decimales con expansión finita y a lo más infinita periódica.

Ahora, para nosotros los docentes, ¿Qué es un número real?, o más precisamente ¿qué es raíz de dos?. La respuesta no puede ser que es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, los expertos (arquitectos y carpinteros) dicen que es 1,4 y aquella persona que debe raíz de dos colones dice que es 1. Y la matemática es la que peor responde y me dice que es un símbolo, es $\sqrt{2} $ , sin "saber'' qué es.

Así, raíz de 2, es otra dimensión, no es el número 2 que todos entienden. Es más, no es un número si se ve desde el mundo real o más bien cambia la concepción de número (al igual que en las construcciones se tienen los números racionales, y luego hacen una clase de equivalencia de sucesiones de Cauchy o una cortadura y tienen la osadía de llamarlo número y para peores le agregan el real mofándose, cuando no se acerca para nada a la realidad, ¿Esto será cierto?).

Se mencionó que cambia la concepción de número por que según lo expuesto tiene sentido decir que el N úmero raíz de dos es un número racionalentre 1 y 2 que cada quien lo toma como le convenga, donde número con n es la concepción natural de número que se tiene y número con N es otro dimensión (e incluso algunos lo pueden tomar menor a 1 o mayor a dos según su necesidad). Esta nueva idea de Número responde en cierta medida a la relatividad, ya que representa un conjunto de racionales del cual cada quién escoge el racional que se adapta a sus necesidades, y entonces ¿en que se diferencia esta intuición que se tiene de número real en nuestra realidad de la formalización de Cauchy y Dedekind?.

 

El discurso anterior, es una interpretación de la incertidumbre que siento es reflejada por el estudiante en secundaria, y a la vez justifica la propuesta presentada.

Ahora, ¿Por qué en el colegio se oculta la verdadera realidad con símbolos como raíz de dos que en cierta medida carece de significado real (no matemático)? ¿Por qué los alumnos se sorprenden cuando se dibuja un triángulo rectángulo de catetos uno y se les dice que la hipotenusa es raíz de dos, cuando se les pudo haber dicho que es 1.42 o cualquier otro símbolo $x$? ¿Por qué no adoptamos un enfoque histórico y se parte de la intuición de los Babilonios, nutrida por las construcciones, para introducir el conjunto de los reales y luego pasar a la axiomatización de los griegos para darle estructura de campo ? En otras palabras ¿por que no introducimos las cortaduras o sucesiones de Cauchy a un nivel intuitivo, que respete la realidad? ¿Por que no darle primero importancia a los métodos numéricos y luego ver la idea de número real y las raíces como un modelo matemático que trata de mejorar las precisiones y no como algo que carece de significado?

Sin duda el problema que se da en secundaria es querer encasillar la noción de número real bajo la misma camisa de número racional. Cuando debe ser lo contrario, se le debe tejer una nueva camisa a $\; \mathbb{R}\;$ luego ver si esta le sirve a $\; \mathbb{Q}\;$. Así lo plantean las construcciones, crean un conjunto $\; \mathbb{R}\;$ cuyos elementos se denominan números reales pero son diferentes totalmente a los números racionales y luego se identifica $\; \mathbb{Q}\;$ on un subconjunto de $\mathbb{R}$.

 

5. La enseñanza de los números reales. Un ejemplo.

Se pretende introducir el concepto de continuidad a nivel intuitivo, es decir lograr que el estudiante tenga la idea de un número real como una cortadura o como una clase de sucesiones de Cauchy en Q, desde su visión del mundo, desde su percepción sin entrar en definiciones rigurosas y demostraciones, o sea sobreponer el concepto a la definición, donde la expansión decimal jugará un elemento importante.

a) Un primer acercamiento: la concepción de número real

Esta primera etapa se plantean actividades en que el estudiante tome conciencia de que $\; \mathbb{Q}\;$o satisface el axioma del extremo superior.

El profesor le plantea el siguiente problema al estudiante: ¿Cuál es el número cuyo cuadrado es 2? El profesor debe tener en mente que la cortadura izquierda $\{x \in \mathbb{Q},\; x^{2} < 2 \}$ y la derecha $\{x \in \mathbb{Q}, x^{2} < 2\}$ no poseen supremo ni ínfimo respectivamente.

Ante el problema el profesor les pide a los estudiantes que traten de irse aproximando ese número por la izquierda y derecha (idea: Cortadura de Dedekind izquierda y derecha). Deben utilizar expansiones decimales, y lo pueden presentar por medio de una tabla, en la cual van colocando una sucesión de números que, al cuadrado, sean aproximadamente 2  (idea de Cantor, sucesiones):

 

Tabla 1

Por la izquierda, $ \; x^{2} \, \le 2$ Por la derecha, $\; x^{2} \, \ge 2$
$x$ $x^{2}$ $x$ $x^{2}$
1.4 1.96 1.5 2.25
1.41 1.9881 1.43 20449
... ... ... ...

El estudiante debe utilizar una calculadora que pueda brindar bastantes decimales, incluso se le puede asignar para el hogar o el profesor puede utilizar una computadora. Es 100% seguro que los estudiantes llegarán a decir que ese número no existe. El profesor debe darle la razón al alumno, pues para ellos los números son los números racionales.

Es necesario recalcar aquí que al llenar la tabla se observará que varios estudiantes expusieron sucesiones diferentes que se acercan al número cuyo cuadrado es 2, note la estrecha relación de esto con el concepto de real dado por Cantor.

Luego el profesor les modela situaciones en que es necesario saber cuánto es ese número que no existe, y les solicitará a los alumnos la manera de solucionar esas situaciones ante el impedimento de la no existencia de ese número. Las situaciones deben ser cuidadosamente planteadas de manera que provoquen respuestas en las que considerar ese número como 1 o 1,41 o 1,4142 sea suficiente. El profesor debe hacer conciencia de que la no existencia de ese número no me impide resolver problemas reales ya que según la situación podemos considerarlo como un número racional aproximado.

Ahora bien, la idea de Dedekind y Cantor de definir número por el detector que lo señala, nos permite seguir adelante:

Como las situaciones se pueden resolver, el profesor señala que la matemática debe tratar de modelarlas, por lo que abusándose de la idea de número, se dice que este numero buscado es el conjunto de todos los racionales que al cuadrado dan casi dos, de los cuales se elige el que más se adapte a la situación. Este nuevo concepto de número como conjunto se le llamará número real y es totalmente diferente al concepto de número que se tenía.

Con esta primera definición de real, se puede plantear una serie de ejercicios. Sin embargo, en esta definición se dijo que del número real se elige "el que más se adapte a la situación'', esto no es propio de una definición matemática, por lo que hasta ahora ha dado una aproximación a la definición, que para objetivarla debe introducir la idea de precisión, para ello es necesario recurrir a la representación decimal de los reales. Aunque la definición no tiene objetividad tiene una estrecha relación con los reales de Dedekind y Cantor, se ha convertido en un puente entre la realidad y los entes creados por estos autores.

b) Representación decimal de los reales.

El profesor sobre la tabla 1, debe realizar dos observaciones importantes:

1. Muchos estudiantes en esta tabla construyen sucesiones distintas para aproximarse al número. El profesor debe hacer ver de manera intuitiva que como todas las sucesiones dadas por los estudiantes convergen a un mismo número, estas pertenecen a la misma clase de equivalencia según la construcción cantoriana, entonces se puede elegir cualquiera para representar el número real, Por ejemplo, para un carpintero que tiene una pieza de madera cuyo ancho es un número que al cuadrado da 2 m, da lo mismo decirle que ese ancho es 1,412 m o 1,413 m.

2. Algunos en esta tabla construyen sucesiones que dan más rápido mejores aproximaciones que otras y la mayoría conforme avanzan van fijando decimales. Aquí se puede dar el ejemplo de una sucesión que en cada término fija un decimal.

De las dos observaciones, el profesor justifica la representación del número real $x$ por una sucesión muy particular, que se llamará la sucesión principal $(b_{n})$, y formalmente sería:

$b_{0 }$ = $[x]$ (parte entera de $x$)
     
$b_{n}$ = $ b_{n -1}+ i \, 10^{ - n}$, donde $i$ es el mayor dígito que cumple $b_{n} \le x$.

Esta es una creación didáctica bastante justificada que no dista mucho del texto de saber de representación de los números reales en expansión decimal.

A nivel intuitivo se le dice a los estudiantes que esta sucesión en cada uno de sus términos (a partir del segundo) fija un decimal. Por ejemplo para el número que al cuadrado es dos, la sucesión principal es: $b_{0 }=1;\; b_{1 }=1,4; \; b_{2 }= 1,41; \; b_{3 }= 1,414\ldots$

El profesor debe enseñar al estudiante a determinar algunos términos de la sucesión principal por medio de ensayo y error en donde debe ir fijando decimal por decimal (solo hay diez posibilidades) valiéndose de una calculadora. Así, en el ejemplo anterior, el estudiante al buscar el tercer decimal puede comprobar que:


\begin{displaymath}(1,410)^{2} \le 2,\; \;(1,411)^{2} \le 2, \; \; (1,413)^{2} \le 2, \; \; (1,414)^{2} \le 2, \; \; (1,415)^{2} \ge 2\end{displaymath}

por lo tanto el tercer decimal es $4$.

Ahora, se puede definir la precisión. Se dice que un representante de un número irracional $x$ tiene una precisión de n decimales si los primeros $n$ decimales de este racional coinciden con los primeros $n$ decimales del término $b_{n + 1 }$ de la sucesión principal de $x$.

Dado que si se conoce el término enésimo de una sucesión principal se conocen sus primeros n términos, se suele denotar esta sucesión por medio de un término enésimo seguido de puntos suspensivos, el término se elige de acuerdo a la precisión que se quiera. Por ejemplo el número real cuyo cuadrado es 2 está representado por $1,4142\ldots$

Los puntos suspensivos, ya que diferencia la representación del número real de la representación decimal de los racionales. El estudiante debe notar que antes colocaba puntos suspendidos cuando se presentaba un período.

c) Inserción de $\; \mathbb{Q}\;$ en $\mathbb{R}$

No faltará un estudiante que ante la notación de la sucesión principal de un número real, pregunte si puede suceder que por ejemplo $11,2333\ldots$ o $1,2999\ldots$ represente una sucesión principal de un número real $x$, lo cual provocaría un conflicto ya que esta notación coincide con la representación de un número racional. El profesor debe hacer al estudiante, que ante este caso, el número racional que tenga esa expansión decimal sería la mejor aproximación de $x$, es decir, $x$ es racional. Así se concluye que todo racional, se puede ver como un número real, por ejemplo: $2 =2,000\ldots $ y que $\; \mathbb{Q}\;$ es subconjunto de $\mathbb{R}$.

De esta manera, dado que la notación de la sucesión principal es consistente con la representación decimal de los racionales, en adelante, se hablará de representación decimal de un número real para referirse a la notación de la sucesión principal. Luego se define el conjunto de los números irracionales como el conjunto de los reales que no son racionales, que por lo expuesto anteriormente deben tener expansión decimal finita no periódica.

 

d) Representación simbólica de un real

Es conveniente, en un primer momento, hablar de raíces cuadradas solo de números racionales y luego introducir los otros casos, incluyendo los reales que tiene una notación simbólica especial como $\pi = 3,1415\ldots ,\; e = 2,71\ldots$ y problemas de aplicación.

Dado un número racional $x > 0$ existe un número real cuyo cuadrado es igual a $x$ y se denota $\sqrt x $. Por ejemplo, el número cuyo cuadrado es 2 es un número real denotado por:

$\sqrt 2 \,= {\{}1; 1,4; 1,41;\ldots {\}} = 1,4142\ldots$

Se debe recalcar que la notación de conjunto es ineficiente, en cambio la notación simbólica permite en cualquier momento obtener la precisión que se quiera de ese número.

 

d) $\; \mathbb{R}\;$satisface el axioma del extremo superior

El profesor lanza de nuevo el problema del inicio: ¿Cuál es el número cuyo cuadrado es 2? Después de todo lo ocurrido, el alumno debe leer con otra óptica este problema, por número no entiende lo que entendía antes, la noción fue modificada totalmente, su respuesta debe ser ese número es $\sqrt 2 \, \approx \, 1.4241\ldots$ ).

 

Conclusiones

En el trabajo realizado se abordaron aspectos de la transposición didáctica de los números reales en nuestro sistema educativo y a partir del análisis de esta y sus deficiencias se expuso en este artículo una pequeña introducción a la enseñanza de los números reales, en la cuál se integraron tanto la historia del saber como sus diferentes textos.

Este trabajo se puede ampliar para que cubra temas como: la estructura de campo en R, los números algebraicos y trascendentes, los números constructibles, incluso se puede obtener una muy buena relación entre la propuesta y la introducción al cálculo.

Es necesario resaltar que se brinda un objeto de enseñanza que tome en cuenta de manera integrada los textos del saber. No se pretenden despojar la enseñanza de los números reales de la axiomatización, esta será necesaria para abordar la estructura de campo de los reales, pues es quizás poco didáctico querer construir todo. La diferencia sustancial de esta propuesta respecto a la realidad expuesta no radica en el camino elegido, sino pretende lograr una concepción de los números reales que en la realidad ni si intenta.

El trabajo apunta a una verdad, es necesario dar una buena preparación matemática a los futuros docentes en secundaria, esto le puede permitir transponer de una mejor manera el conocimiento que será objeto de enseñanza. Se plantean como una buena opción la introducción de las construcciones en la preparación de los futuros docentes.

Esta propuesta es una primera aproximación para hacer frente a la problemática de enseñar los números reales y requiere de un análisis para mejorarla y nutrirla con otros aportes, o rechazarla por producir más malestares del que trata de solucionar, pero intenta poner a la matemática como subordinada a la realidad y no como se ha venido presentando.

Por otro lado, se podrían analizar las ventajas que presentaría la implementación de la propuesta expuesta en la enseñanza del cálculo diferencial.

La alternativa brindada aquí no pretende dar una fórmula mágica o receta a seguir para que cualquier profesor enseñe los números reales. Por el contrario, el profesor que se supone ha estudiado muy bien las construcciones se le brinda más que una receta de cocina un pastel del cual él conoce sus ingredientes, y puede probarlo, juzgarlo y mejorarlo en sus lecciones, se deja en sus manos el Saber Enseñado.

 

Bibliografía
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