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¿Qué es la División Sintética?


La División Sintética es un procedimiento abreviado para realizar la división de un polinomio P(x) = anxn + an - 1xn - 1 +...+ a1x + a0 de grado n, esto es an $ \not=$ 0, entre un polinomio lineal x - c. El procedimiento para realizar esta división es muy simple, primero se toman todos los coeficientes del polinomio P(x) y la constante c, con estos se construye una especie de ''casita'' que ayudará en el proceso

                                                           

Lo primero es ''bajar'' el coeficiente an, a este coeficiente también lo denotamos por bn - 1, luego se multiplica por la constante c, el resultado se coloca en la segunda columna y se suma al siguiente coeficiente an - 1, al resultado lo denotamos bn - 2

                                                       

Este último resultado se multiplica nuevamente por c y se le suma al coeficiente an - 2 y el proceso se repite hasta llegar a a0. Los resultados parciales que se obtienen se denotan por bn - 1,  bn - 2,   ... ,  b1,  b0 (se inicia con bn - 1 pues el cociente tiene un grado menos que el dividendo), y el último valor obtenido se denota por r, pues es el residuo de la división, de esta manera lo que se obtiene es

                                            

Así, el cociente de la división de P(x) por x - c es bn - 1xn - 1 + bn - 2xn - 2 + ... + b1x1 + b0 con un residuo r, en donde los coeficientes se detallan como

bn - 1 = an
bn - 2 = cbn - 1 + an - 1
bn - 3 = cbn - 2 + an - 2
$\displaystyle \vdots$
b1 = cb2 + a2
b0 = cb1 + a1
r = cb0 + a0

EJEMPLO 1 (División Sintética)  
Realice la división de P(x) = 3x4 + 2x3 - x2 + 4x + 2 entre x + 2.

Solución

Al realizar el algoritmo de la división sintética con los coeficientes de P(x) y -2 como valor de c se obtiene

                                                                

Así, el cociente de la división de P(x) entre x + 2 es 3x3 - 4x2 + 7x - 10 y se obtiene un residuo r = 22.


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