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Justificación de la División Sintética

De los coeficientes descritos en la sección anterior, el más sencillo de justificar es el residuo, ya que es claro que el residuo es la evaluación del polinomio en c, es decir r = P(c).  Recordando, el teorema del residuo enuncia que si se divide un polinomio P(x) entre un polinomio lineal x - c, entonces el residuo de la división es P(c) (Ver Apéndice), con esto queda demostrado que efectivamente el último término que da la división sintética es el residuo de la división, ahora solo queda demostrar que los demás coeficientes efectivamente son los coeficientes del cociente de la división de P(x) entre x - c.

Por definición de división de polinomios, al dividir un polinomio P(x) entre x - c se debe encontrar un polinomio Q(x) tal que P(x) = (x - c)Q(x) + r, denotando a Q(x) como Q(x) = b_{n - 1}x^{n - 1} + b_{n - 2}x^{n - 2} + ^... + b₁x + b₀ se obtiene

P(x) = (x - c)[b_{n - 1}x^{n - 1} + b_{n - 2}x^{n - 2} + ^... + b₁x + b₀] + r

 

Desarrollando se tiene 

P(x) = b_{n - 1}xⁿ - cb_{n - 1}x^{n - 1} + b_{n - 2}x^{n - 1} - cb_{n - 2}x^{n - 2} + b_{n - 3}x^{n - 2} + ^... - cb₂x² + b₁x² - cb₁x + b₀x - cb₀ + r

Emparejando términos semejantes y factorizando cada una de estas parejas, se llega a

P(x) = b_{n - 1}xⁿ + (b_{n - 2} - cb_{n - 1})x^{n - 1} + (b_{n - 3} - cb_{n - 2})x^{n - 2} + ^... + (b₁ - cb₂)x² + (b₀ - cb₁x)x + (r - cb₀)

 

Y como, desde un inicio

P(x) = a_nxⁿ + a_{n - 1}x^{n - 1} +...+ a₁x + a₀

Y para que estas dos fórmulas sean iguales tiene que suceder que los coeficientes de cada potencia sean iguales, es decir, tiene que pasar que

b_{n - 1} = a_n

b_{n - 2} - cb_{n - 1} = a_{n - 1}

b_{n - 3} - cb_{n - 2} = a_{n - 2}

$$\vdots$$

b₁ - cb₂ = a₂

b₀ - cb₁ = a₁

r - cb₀ = a₀

Y, por último, al despejar el primer término en cada igualdad se obtiene

 

b_{n - 1} = a_n

b_{n - 2} = a_{n - 1} + cb_{n - 1}

b_{n - 3} = a_{n - 2} + cb_{n - 2}

$$\vdots$$

b₁ = a₂ + cb₂

b₀ = a₁ + cb₁

r = a₀ + cb₀

 

¡Los mismos coeficientes que se obtienen por división sintética! Esta es la razón por la que el procedimiento de la división sintética funciona, los coeficientes del cociente al dividir un polinomio entre un polinomio lineal se obtienen multiplicando cada resultado parcial por c y sumándole el coeficiente siguiente, iniciando con el valor de a_n.  Hay que hacer el comentario que la división sintética sólo funciona cuando se divide por un polinomio lineal x - c, si se divide por algún otro polinomio se debe hacer la división larga o factorizar el divisor y dividir por cada uno de los factores (este procedimiento sólo funciona si todos los factores, excepto tal vez el último, dan como residuo cero).

Apéndice   

Definición 1 (División de Polinomios)  
Sea P(x) cualquier polinomio y sea S(x) un polinomio no nulo, entonces existen dos únicos polinomios Q(x) y R(x) tales que

P(x) = S(x)Q(x) + R(x)

en donde el grado de R(x) es menor que el grado de S(x). Los polinomios Q(x) y R(x) son el cociente y el residuo de la división de P(x) entre S(x), respectivamente. Los polinomios P(x) y S(x) son el dividendo y el divisor, respectivamente.

TEOREMA 1 (Teorema del Residuo)  
Si c es una constante y un polinomio P(x) es dividido por x - c, entonces el residuo obtenido es igual a P(c), lo cual es la evaluación de P(x) en c.

Demostración

Como el grado del polinomio que se obtiene de residuo es menor que el grado del divisor y en este caso el divisor es de grado uno, entonces el residuo es una constante, denotemos a este residuo con r y el cociente con Q(x), por la definición de división de polinomio P(x) se puede expresar como

P(x) = (x - c)Q(x) + r

Ahora, si se evalúa esta última expresión en c se obtiene

P(c) = (c - c)Q(c) + r

P(c) = r

Por lo tanto, el residuo es igual a P(c)

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