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Punto interior de un triángulo

En muchas tareas de programación de gráficos, se necesita seleccionar y arrastrar un objeto geométrico. Para simplificar la discusión, supongamos que tenemos el siguiente problema: tenemos un triángulo (que se puede deformar arrastrando sus vértices) y queremos trasladarlo arrastrando el ratón sobre él. En el "programita" que sigue abajo, se puede arrastrar el triángulo con el ratón y también se puede deformar el triángulo arrastrando los vértices. Cada vez que hacemos clic dentro de la zona gris se despliega un punto rojo, excepto si hacemos clic en el interior del triángulo.


Los navegadores ya no brindan soporte para applets de java, este applet se ha deshabilitado



Arrastrar el triángulo. Se puede deformar el triángulo arrastrando 
sus vértces con el mouse

 

Para hacer la implementación necesitamos resolver tres problemas

  1. Cómo decidir si el 'ratón' está sobre el triángulo?

     

  2. Arrastrar el triángulo

     

  3. Solucionar el problema de refrescamiento de imágenes
 

Punto interior a un triángulo

Para resolver el problema de decidir si el ratón esta sobre el triángulo, hacemos uso de algunas ideas del Algebra Lineal. Para esto consideremos un ángulo con un vértice v0, como se muestra en la figura que sigue.



En esta figura, los vectores   v1   y   v2   son los rayos del ángulo con vértice en    v0. Ahora tomamos un punto v  y lo expresamos como
v = v0 + a1v1 + a2v2

resolviendo para   a1   y   a2  obtenemos

a1

=

$\displaystyle {\frac{v \otimes v_2 - v_0 \otimes v_2}{v_1 \otimes v_2}}$

   

a2

=

$\displaystyle {\frac{v \otimes v_1 - v_0 \otimes v_1}{v_1 \otimes v_2}}$


donde u $ \bigotimes$ v  :uxvy - uyvx

Nota: La fórmula definida para vectores en dos dimensiones u $ \otimes$ v,    es una derivación del cálculo formal
  u × v = (ux, uy, 0) ×  (vx, vy, 0) = (uxvy - uyvx)k

Es claro que si a1 > 0  y si   a2 > 0, entonces   v   estará en el interior del ángulo con vértice en v0.

De esta manera, v esta en el interior del triángulo si es interior a cada uno de los tres ángulos del triángulo.

Por ejemplo, consideremos v0 = (0,0),  v1 = (1,3)  y   v2 = (3,1).  

Si tomamos  v = (1,1) entonces  vv0 + 0.25 v1 + 0.25 v2, así que como a1 =  0.25 > 0   y   a2  =  0.25  > 0 entonces v está en el interior del ángulo

Si tomamos  w = (0,2) entonces  w  =  v0 + 0.75 v1 - 0.25 v2, así que como a1 =  0.75 > 0   y   a2  =  - 0.25  < 0 entonces w está  fuera del interior del ángulo

 

Este resultado se puede reformular en términos de orientación de un triángulo. Este otro punto de vista nos permite formular un algoritmo sencillo para resolver el primer problema.

Orientación de tres puntos

Decimos que tres puntos del plano tienen orientación nula si son colineales, en otro caso decimos que  tres puntos A1, A2 ,A3 están orientados de manera positiva si para visitar estos tres puntos en el orden  dado, nos movemos contra-reloj y que están orientados de manera negativa  si para visitar estos tres puntos en el orden dado, nos movemos a favor del reloj.




La orientación del triángulo depende del orden en que se especifican 
sus vértices, usando el  producto cruz 
u × podemos calcular la orientación


Con el producto cruz definido en R3 se puede establecer una manera sencilla para determinar la orientación de tres puntos A1, A2, A3 (en este orden). LLamemos u = A1 - A3 y v = A2 - A3 entonces

  u × v = (ux, uy, 0) ×  (vx, vy, 0) = (uxvy - uyvx)k

La fórmula que resultó es natural ya que los tres puntos están en el plano XY, por lo tanto el producto cruz es un vector en la dirección del eje Z. Podemos usar el signo de la componente   uxvy - uyvx   para definir la orientación, así si 

u $ \otimes$ v  : =  uxvy  -  uyvx

entonces, la orientación es positiva si    u $ \otimes$ v > 0      y la orientación es negativa si    u $ \otimes$ v < 0

 


Por ejemplo si  A1 = (2,3), A2 = (3,5), A3 = (1,4) entonces 

Si  u = A1 - A3v = A2 - A3 tendríamos u $ \otimes$ v = 3 > 0, por tanto la orientación de A1A2A3 es positiva

Si  u = A3 - A1v = A2 - A1 tendríamos u $ \otimes$ v = -3 < 0, por tanto la orientación de A3A2A1 es negativa

Finalmente, decimos que el triángulo $ \triangle$ABC esta orientado positivamente si los vértices A, B, C están, en este orden, orientados positivamente. De manera análoga decimos que el triángulo está orientado negativamente si los vértices A, B, C están, en este orden, orientados negativamente. Así, en el ejemplo anterior, el  $ \triangle$A3A2A1 está orientado negativamente.


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