Algunos aspectos  sobre Ecuaciones Funcionales		José Rosales Ortega

 

Algunos aspectos
sobre Ecuaciones Funcionales

José Rosales Ortega
Escuela de Matemática
Instituto Tecnológico de Costa Rica

 

Las ecuaciones funcionales son un tópico muy conocido de las matemáticas. Por ejemplo, se conoce que las funciones continuas $f$ que verifican la ecuación funcional $f(x+y)=f(x)+f(y)$ son de la forma $f(x) =ax$, donde $a$ es una constante. De igual forma se sabe que la función que verifica que $f(x+y)= f(x)f(y)$ es la función exponencial.

Una particularidad de las ecuaciones funcionales es que no hay un método universal para resolverlas. Lo que existe es una guía de cómo aproximarse a encontrar la solución, en el caso en que exista.

En esta nota queremos tratar con ecuaciones funcionales del siguiente tipo

• $$f^3(x)\cos^2{x} + f(x)$$   sen$^2{x} \, =\, 2$sen$^3{x}-$   sen$^5x$,
• $$f^3(x) + (x^2+x^4 +\cdots + x^{2n})f(x) \, =\, 2x^3 + x^5 + x^7 + \cdots + x^{2n+1}$$,

e indicar cómo proceder a la búsqueda de sus soluciones.

Problema 1

 

Encontrar todas las funciones $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ que verifican

 

$$f^3(x)\cos^2{x} + f(x) ^2{x} \, =\, 2 ^3{x}- ^5x, \mbox{para todo $x \in \mathbb{R}$}$$ (1)

Una idea que siempre está presente en la resolución de ecuaciones funcionales es la de buscar alguna función que verifique nuestra ecuación. Es fácil darse cuenta que $f(x) =$   sen${x}$ es una solución de la ecuación funcional anterior. Lo único que debemos hacer es recordar que $\cos^2{x} = 1-$sen$^2{x}$.

Una vez que tenemos una solución surge de inmediato la pregunta siguiente: nuestra solución será la única? Algunas veces sí. Veamos que en nuestro caso la función sen${x}$ es la única solución de la ecuación funcional.

Si deseamos mostrar que nuestra solución es la única que satisface la ecuación anterior entonces el método de ataque es el siguiente: supongamos que hay otra función, digamos $g(x)$, que también es solución de la ecuación y tratemos luego de probar que $f(x)=g(x)$, para todo $x\in \mathbb{R}$. Esto mostrará la unicidad de la solución.

Sea entonces que $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ también es solución de la ecuación funcional (1), es decir que se cumple:

 

$$g^3(x)\cos^2{x} + g(x) ^2{x} \, =\, 2 ^3{x}- ^5x, \mbox{para todo $x \in \mathbb{R}$}$$ (2)

Restando (2) de (1), obtenemos

$$\left[ f^3{(x)} - g^3{(x)}\right ]\cdot \cos^2{x} \, +\,\left[f(x) - g(x)\right]\cdot ^2{x} = 0, \mbox{para todo $x \in \mathbb{R}$}$$ (3)

Usando la fórmula para la diferencia de cubos y luego factorizando, obtenemos que (3) es equivalente a

$$[f(x) -g(x)]\cdot \left\{ [f^2(x) + f(x)\cdot g(x) + g^2(x)]\cdot \cos^2{x} + \mbox{sen}^2{x}\right\}\,=\, 0.$$

De lo anterior se sigue que

$$f^2(x) + f(x)\cdot g(x) + g^2(x)\, = \, 0.$$

Y esto último es equivalente a que

$$\frac{1}{2}\left\{ f^2(x) + \left( f(x) + g(x) \right)^2 + g^2(x) \right\} \, =\,0.$$

Por lo tanto, $f(x)=g(x) = 0$, para todo $x$ número real.

Lo anterior prueba que sen${x}$ es la única solución.

Problema 2

 

Encontrar todas las funciones $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ que verifican

 

$$f^3(x) + (x^2+x^4 +\cdots + x^{2n})f(x) \, =\, 2x^3 + x^5 + x^7 + \cdots + x^{2n+1}, \mbox{para todo $x \in \mathbb{R}$}$$ (4)

Procediendo como en el problema anterior vemos que $f(x)=x$ es una solución de la ecuación funcional (4). Ahora veamos si tal solución es única.

Igual que antes supongamos que $g: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ es otra solución de la ecuación funcional (4), es decir que

$$g^3(x) + (x^2+x^4 +\cdots + x^{2n})g(x) \, =\, 2x^3 + x^5 + x^7 + \cdots + x^{2n+1}, \mbox{para todo $x \in \mathbb{R}$}$$ (5)

Si restamos (5) de (4) obtenemos que

$$f^3(x)-g^3(x) + (x^2+x^4 +\cdots + x^{2n})(f(x)-g(x))= 0,$$

luego, usando una vez más la diferencia de cubos y factorizando, obtenemos que

$$[f(x)-g(x)]\left\{ f^2(x) + f(x)\cdot g(x) + g^2(x) + x^2+x^4 +\cdots + x^{2n}\right\} = 0.$$

La idea ahora es observar que los términos $f^2(x) + f(x)\cdot g(x) + g^2(x)$ se pueden escribir de la siguiente forma

$$f^2(x) + f(x)\cdot g(x) + g^2(x)= \left(f(x) + \frac{g(x)}{2}\right)^2\,+\, \frac{3g^2(x)}{4}.$$

Usando lo anterior se concluye que $f(x) = g(x) = 0$, y con lo cual se concluye que

$f(x) = g(x)$, para todo $x\in \mathbb{R}$.

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