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Marco
Teórico En este trabajo, se utiliza el término Esquema (Schema) con el significado que este término tiene dentro del programa de investigación neopiagetiano denominado Teoría APOS (Actions, Process, Objects, Schemas), que pretende ser un marco teórico y metodológico coherente para describir y explicar el desarrollo del pensamiento matemático avanzado en el nivel universitario (Dubinsky, 1991, 1996; DeVries, 2001). En la teoría APOS, la comprensión de un concepto matemático comienza con la manipulación de objetos (físicos o mentales) ya construidos para formar acciones; las acciones son entonces interiorizadas para formar procesos los cuales, a su vez, son encapsulados para formar objetos. Los objetos pueden ser desencapsulados para volver a los procesos de los cuales fueron formados. Finalmente las acciones, los procesos y los objetos pueden ser organizados en esquemas. Estos nuevos objetos pueden ser transformados por acciones de nivel superior que conllevan a otros procesos, objetos y esquemas nuevos. Por tanto, tenemos un mecanismo que puede ser visto como una espiral ascendente de acciones, procesos y objetos dentro de esquemas que se reconstruyen y enriquecen (Asiala y col. ,1997; Dubinsky, 1996; DeVries, 2001). Y así, un esquema para cierta parcela de las matemáticas es una colección personal de acciones, procesos, objetos y otros esquemas que están conectados, consciente o inconscientemente, en una “estructura coherente” en la mente de la persona. Además, la naturaleza del desarrollo de los esquemas puede describirse a través de la triada dialéctica que conduce de lo intra-objetal o análisis de los objetos, a lo inter-objetal, es decir, al estudio de las relaciones y transformaciones entre dichos objetos, y de allí a lo trans-objetal o estudio de las estructuras construidas tomando como soporte dichas transformaciones (Piaget y Garcia, 1983). Por ejemplo, en un esquema de la geometría estos niveles podrían llamarse: intrafigural, interfigural, transfigural. Y en un esquema analítico: intraoperacional, interoperacional, transoperacional. Ahora bien, la práctica educativa nos dice que es
posible que la estructura subyacente en un esquema no siempre sea coherente y,
por el contrario, coexistan, inconsciente o conscientemente, ideas
inconsistentes (considerar compatible una proposición y su negación), incoherentes
(respuestas en diferentes sistemas de representación contradictorias entre sí),
pobres y conflictivas. Esto conduce a esquemas tematizados que no siempre
funcionan de la mejor manera posible. Por ejemplo, Tall y Vinner (1981),
proponen las nociones de “concept image”
y “concept definition” para referirse
y explicar los conflictos que existen entre los conceptos matemáticos definidos
formalmente y los procesos cognitivos individuales utilizados para concebirlos.
Y para ensanchar los límites de competencia de los estudiantes, la estructura
subyacente de un esquema deben ser detectada, corregida y enriquecida. Así pues, el esquema tiene que ser desequilibrado y
reconstruido. En (Clark et al., 1997; DeVries, 2001) se usa la
etiqueta “madurez del esquema” para
referirse a la fuerza o potencia de un esquema y se hace una analogía con el
concepto de función. Si el proceso de construcción se reduce al registro
algebraico y si este es el proceso que es encapsulado en un objeto, entonces el
estudiante acaba con una concepción de función débil. Aquí la causa no es el
fracaso del proceso de encapsulación, sino la encapsulación de un proceso que
no era lo suficientemente rico. De igual manera, una persona puede tematizar un
esquema que tiene una estructura coherente débil y, en consecuencia, está
persona puede no ser capaz de aplicar ese esquema en situaciones nuevas. Por
tanto, el esquema de una persona es la totalidad de conocimiento que para él o
ella está conectado (consciente o inconscientemente) a un tema matemático
particular. Una persona tendrá un esquema de función, un esquema de derivada,
un esquema de grupo, etc. El esquema de una persona también puede incluir una
colección de experiencias, impresiones, imágenes o expresiones verbales tales
como “Cada vez que veo este símbolo yo
hago esto”. Y se puede hablar, en consecuencia, de esquemas pobres,
débiles, incoherentes y rígidos. Contexto
de la investigación y metodología La revisión de los
diferentes programas de estudio y de los libros de texto utilizados en el
sistema universitario salvadoreño (Zill, 1988, 1997; Boyce y Di Prima, 1986;
Coddington y Levinson, 1955), permite caracterizar el currículo de las
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) como un currículo tradicional que
privilegia los procesos de algebrización y algoritmización asociados al estudio
de un conjunto de métodos (separación de variables, series, Tranfomada de
Laplace, etc) para encontrar fórmulas para las soluciones de ciertos tipos de
EDO, en los que se dejan en segundo plano cuestiones centrales acerca del
comportamiento de dichas soluciones. Estos métodos eran ya bien conocidos hacia
1740 y, desde los tiempos de Euler o Cauchy, son pocos los cambios que se han
realizado en los contenidos, el lenguaje y su tratamiento (Kline, 1992; Rota,
1997). La metodología
utilizada tiene una orientación cualitativa y se llevó a cabo realizando un
estudio de casos: 4 estudiantes de V ciclo de la Licenciatura en Matemáticas de
la Universidad de El Salvador que cursaron la asignatura Ecuaciones Diferenciales
I durante 18 semanas entre los meses de febrero y junio de 2000. La información se
obtuvo a principios de enero de 2001 de las respuestas que los estudiantes
dieron a un cuestionario y de entrevistas individuales grabadas en audio. Primero, administramos el cuestionario y
analizamos las respuestas obtenidas. Una semana después, durante cuatro días,
realizamos las entrevistas con el objeto de profundizar en el pensamiento de
los estudiantes ante las respuestas dadas en el cuestionario e intentar
resolver los problemas que no fueron resueltos o cuyas respuestas eran muy
pobres. La renuencia de los sujetos para utilizar los métodos cualitativos
elementales y los bloqueos continuos, a veces muy prolongados, que
experimentaron durante las sesiones de entrevistas, nos condujeron a inducir su
trabajo. Esta influencia no ha sido estudiada y, por tanto, aparece como una
debilidad metodológica de este trabajo.
El cuestionario consta de los cuatro problemas siguientes que pueden resolverse con lápiz y papel y que demandan de los estudiantes relacionar los registros algebraico y gráfico, así como hacer uso de sus habilidades y conocimientos del cálculo y de los resultados de existencia y unicidad de las EDO. El tiempo estimado para responder el cuestionario fue de 3 horas.
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Revista
Virtual, Matemática Educación e Internet.
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