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Conclusiones y reflexiones
finales La evidencia recogida
en este trabajo permite confirmar algunas tesis ya mencionadas en otros
estudios del área de la didáctica del Cálculo. A saber: 1) el desarrollo de
habilidades algebraicas y algorítmicas por sí solas no garantizan la
comprensión de los conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales
ordinarias, 2) los conocimientos y/o habilidades adquiridas en el registro
algebraico no se transfieren de manera automática al registro gráfico, y 3) la
actividad de conversión entre representaciones no resulta por sí misma en forma
automática, rápida y espontánea por el solo hecho de haber sido capaz de formar
esas representaciones y efectuar tratamientos sobre ellas. Además, permite
minar la creencia generalizada entre el profesorado en la superioridad del
enfoque algebraico y algorítmico frente al enfoque gráfico/visual y numérico;
creencia que permite sostener, por una parte, que un estudiante que tenga un
buen desempeño en el primer enfoque automáticamente también lo tendrá en el
segundo y, por otra, que la actividad de conversión entre las representaciones
algebraica y gráfica resulta por sí misma en forma automática y espontánea. También, se ha constatado que las competencias que
se supone que estos estudiantes deberían haber adquirido al finalizar la
asignatura de ecuaciones diferenciales son cuestionables, pues, su dominio de
los métodos de integración de las EDO se limita a una mera manipulación
simbólica, inconsistente y poco adecuada que se aplica sin sentido de pertinencia.
En particular, las capacidades para tratar, leer, interpretar y
convertir información cuantitativa en un formato cualitativo y viceversa (lo
que tiene un valor práctico y educativo incuestionable), no logran
desarrollarse, lo que desfavorece la formación científica y el desarrollo de
las competencias comunicativas de los estudiantes. Y algo muy importante, es la
ausencia de conocimientos y habilidades generales y conceptuales que les
permitan reflexionar y controlar sus producciones a fin resolver con éxito las
tareas propuestas. Sin duda alguna,
esto último debería ser una componente vital de tales competencias.
Evidentemente la responsabilidad de este estado de cosas, poco deseadas y
decepcionantes, no puede atribuírsele sólo a los estudiantes, pues es
determinante lo que los otros componentes del sistema didáctico (profesor y
currículo) y todo su entorno les niegan a éstos: los medios cognitivos y
culturales para su desarrollo intelectual y formación científico-técnica. Por
ejemplo, en Zill (1988, pp. 40-41), un libro de texto muy usado en el curso de
EDO (en el sistema universitario salvadoreño), se resuelve el problema de valor
inicial Somos conscientes de que para romper con la exclusividad
de los procesos de algebrización y algoritmización a que ha estado sometida la
enseñanza y el aprendizaje de las EDO, se tiene que hacer un gran esfuerzo para
crear las condiciones objetivas y subjetivas que favorezcan dicha perspectiva.
Pero sobre todo, independientemente de que se haga o no un uso intensivo de la
tecnología, hay que hacer un esfuerzo específico para romper con la tendencia
de los estudiantes hacia el modo de pensamiento procedimental, algebraico y
algorítmico y modificar el status del registro gráfico. Esto queda ilustrado
muy bien en la experiencia que reporta Habre (2000) para evaluar el impacto
sobre el pensamiento y conocimientos y/o habilidades de los estudiantes de un
curso de EDO con orientación cualitativa. La evidencia experimental señala que
los efectos esperados en el pensamiento del estudiante son mínimos y, por el
contrario, el conocimiento conceptual permanece fuertemente ligado a esquemas
algebraicos. De hecho, durante la última semana de un curso introductoria de EDO
se realizó una entrevista individual a una muestra de 9 estudiantes en la que
se abordaban las cuestiones siguientes: 1) żEn qué piensas primero cuando se te
pide resolver una EDO?, 2) resuelve
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Revista
Virtual, Matemática Educación e Internet. |
con el objeto de mostrar las limitaciones de proceder sólo en
el registro algebraico y de darse por satisfecho una vez encontrada la solución
general. Sin embargo, las explicaciones a las que recurren este autor y muchos
de los profesores que siguen este texto se quedan en el mismo registro
algebraico, mostrando solamente que existen soluciones que no pueden obtenerse
de la solución general. Es cierto que se muestra ahí un dibujo con algunas
soluciones, pero no se hacen explícitas las relaciones de ese dibujo
, y 3) resuelve 
. Los resultados obtenidos son significativos: en la cuestión
1), todos los entrevistados (9 de 9) pensaron primero en buscar una solución
analítica. Y sólo cuando se les pidió pensar otras alternativas, 6 de 9
consideraron el enfoque cualitativo, pero de éstos últimos sólo 2 de 6
expresaron sentirse bien. En la cuestión 2), otra vez todos (9 de 9) escogieron
en primer lugar una aproximación analítica. Sólo después de fracasar en el
intento de integrar 
, 7 de 9 optaron por resolver el problema geométricamente;
mientras los otros 2 de 9 insistieron en integrar para encontrar una fórmula
para la solución de la EDO. En la cuestión 3), a pesar de haber fracasado con
la ecuación de variables separables dada en el problemas 2, todos los
entrevistados escogieron la aproximación algebraica. Y con alguna guía todos
obtienen la respuesta simbólica 
. Sin embargo, debido a la presencia en esta fórmula de la
constante C y del parámetro k, ninguno fue capaz de interpretar la fórmula
obtenida.