Una Forma Distinta para Hallar la Distancia de un Punto a una Recta

  

Lic. Enrique Vílchez Q.
   
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Ejemplos de Aplicación


  1. Determine la distancia del punto $ P$ de coordenadas $ \left( -2,1\right) $ a la recta $ L$ de ecuación asociada $ 5y+3x=1.$



    Solución



    $ 5y+3x=1\;\Longrightarrow\; y=-\frac{3}{5}x+\frac{1}{5}$

    Luego:

    $\displaystyle \triangle=\displaystyle{\frac{1-\left( -\displaystyle{\frac{3}{5}... ...c{1}{5}}\right) }{\displaystyle{\frac{9}{25}}+1}}=-\displaystyle{\frac{5}{17}} $



    Finalmente:

    $\displaystyle d=\left\vert -\displaystyle{\frac{5}{17}}\right\vert \sqrt{\displaystyle{\frac{34}{25}}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{34}}{17}} $



  2. Halle la distancia entre las rectas paralelas:

    \begin{displaymath}%% \begin{array}[c]{c}%% L_{1}:y=2x-1\\ L_{2}:y=2x+4 \end{array}\end{displaymath}



    Solución



    Por definición, esta distancia $ d$ corresponde a la longitud del segmento perpendicular de un punto cualquiera de ellas a la otra recta. De esta forma, hallemos las coordenadas de un punto $ P$ de $ L_{1}$ y posteriormente calculemos la distancia de $ P$ a $ L_{2}$.

    Para $ x=0$ en $ L_{1}$ se obtiene $ P=\left( 0,-1\right) $, luego:

    $\displaystyle \triangle=\displaystyle{\frac{1-4}{5}}=-1 $

    En consecuencia:

    $\displaystyle d=\left\vert -1\right\vert \sqrt{5}=\sqrt{5} $



  3. Determine las coordenadas de un punto $ P$ cuya distancia a la recta $ L $ de ecuación asociada $ y=\displaystyle{\frac{x-7}{2}}$ corresponde a $ 4,$ y represente geométricamente el conjunto de todos los puntos del plano que satisfacen esta condición.



    Solución



    Sea $ P=\left( x,y\right) $ entonces:

    \begin{displaymath}%% \begin{array}[c]{rclcl}%% \left\vert \triangle\right\vert ... ...vert 2y-x+7\right\vert &=&4\sqrt{5}\\ & & & &\\ \end{array}\end{displaymath}


    de donde $ \,-x+2y\,=\,4\sqrt{5}-7 \; \; \vee \;\; -x+2y\,=\,-4\sqrt{5}-7.\,$



    Ambas ecuaciones representan las ecuaciones asociadas a dos rectas paralelas que llamaremos $ L_{1}$ y $ L_{2}$ respectivamente, cualquier punto de las rectas es una solución. Si en la ecuación de $ L_{1}$ $ x=0$ entonces $ y=2\sqrt{5}-\frac{7}{2}$ y el punto $ P=\left( 0,2\sqrt{5}-\frac{7}%% {2}\right) $ satisface la condición deseada. Geométricamente las rectas paralelas $ L_{1}$ y $ L_{2},$ y la recta $ L$, vienen dadas por la siguiente figura:



    La recta de color azul corresponde a $ L_{1}$, la de color negro a $ L$ y la de color verde a $ L_{2}.$

 

 
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