Las Cónicas de Apolonio 

     “Las circunstancias de la composición de la  obra  de Apolonio están explicadas por él mismo en su primer libro.  Así le  escribe a Eudemo: "Creo que no habrás olvidado, porque  ya te lo he contado  antes, que fue a instancias de Naucrates el  geómetra, que fue mi huésped durante  su estancia en Alejandría,  por lo que me introduje en este campo y que, cuando  él estaba  a punto de embarcarse, me apresuré a ponerle al corriente de lo  que  había ya elaborado, en ocho libros, sin poner demasiado cuidado  en su  perfección, sino anotando todo lo que se me ocurría, con  la intención de hacer  una ulterior revisión. Ahora que he tenido  la ocasión de establecer las cosas  por sus pasos de una manera  adecuada, las publico. Y puesto que sucede que  algunos de los  que han tratado conmigo han recibido los libros primero y segundo  antes de que hubiesen sido revisados, no te extrañes de encontrar  en ellos  cuestiones tratadas de una manera diferente...".

    Apolonio sabe mucho más de lo que hasta  entonces se sabía y  de modo mucho mejor organizado. Por ello  se decide a publicarlo. El mismo, en  este prólogo al libro primero,  explica el contenido de la obra bien claramente.  Los cuatro primeros  libros constituyen una introducción elemental. Debían de  constituir  materia probablemente ya sabida, pero no organizada como la propone  Apolonio. A partir del libro V se exponen los hallazgos más importantes  del  mismo Apolonio.

        Su  índice, con palabras nuestras, se puede proponer más  o menos  así:

             I.             Modos de obtención y propiedades fundamentales de las cónicas.

          II.             Diámetros, ejes y asíntotas.

        III.             Teoremas notables y nuevos.  Propiedades de los focos.

       IV.             Número de puntos de intersección de cónicas.

          V.             Segmentos de máxima y mínima distancia a las cónicas.  Normal, evouta, centro de curvatura.

       VI.             Igualdad y semejanza de las secciones cónicas. Problema inverso:  dada la cónica, hallar el cono.

     VII.             Relaciones métricas sobre diámetros.

  VIII.             (Se desconoce su contenido.  Tal vez problemas sobre diámetros conjugados).

     A continuación examinaremos someramente algunos de los  detalles  más importantes de los diferentes libros, adelantando solamente  que se  considera, de modo unánime, el libro V como el mejor y  más original de  todos.

    El libro  I comienza con la generación del cono circular oblicuo de  dos hojas que, seccionado por un plano, dará lugar a los  diferentes  tipos de cónicas. Apolonio ha captado cómo esta consideración  de un  solo cono permite la obtención de las tres cónicas según  la inclinación diversa  del plano y además identificará la hipérbola  como una curva con dos ramas. En  estos puntos importantes se aparta  de sus antecesores en el campo, logrando una  visión más unitaria  y mejor sistematizada del tema.

     Estudia las secciones circulares del cono, paralelas y  antiparalelas  a la base, introduce el parámetro (p=2b²/a) que llama lado recto, establece las propiedades de  ordenada y  abscisa de las cónicas, considera el centro, ejes,  diámetros conjugados,  tangentes, ... y ataca el problema de construcción  de la cónica dados diversos  elementos suyos.

    El libro II estudia fundamentalmente las propiedades  de las  asíntotas de la hipérbola. Caracteriza la asíntota por  la distancia PM en  función de OP y el parámetro correspondiente  (ver figura).  

Estudia  al final el problema importante  siguiente: Trazar una tangente  que forme un ángulo dado con el diámetro que pasa  por el punto  de contacto.

    El lenguaje de Apolonio  es, por supuesto, un lenguaje  sintético, utilizando a la perfección  los viejos procedimientos pitagóricos de  la aplicación de áreas.  Los resultados sin embargo son fácilmente traducibles al  lenguaje  de la geometría analítica. Lo que resulta profundamente sorprendente  y  llamativo es que Apolonio sea capaz de llegar tan lejos sin  asomo de utilización  de los métodos avanzados de la geometría  y del cálculo de los que nosotros  disponemos.

    El libro III se dedica primero a estudiar las relaciones  de  triángulos y cuadriláteros determinados por tangentes y diámetros  conjugados.  Obtiene la relación armónica sobre los cuatro puntos  determinados en una secante  a la cónica que pasa por un punto,  su polar y los dos de intersección de la  secante con la cónica.  En la proposición 41 se establece cómo tres tangentes a  la parábola  se cortan en la misma razón y así resulta la parábola como  envolvente  de las rectas con esta propiedad. En la proposición 43 aparece  la  hipérbola como lugar de puntos tales que xy=constante, siendo  x e y abscisa y  ordenada respecto a los ejes constituidos por  las asíntotas. Desde la  proposición 45 a la 52 aparecen propiedades  interesantes sobre los focos. En la  45 se establece cómo desde  un foco F se ve bajo un ángulo recto MFM´ el segmento  determinado  por una tangente cualquiera entre las tangentes en A y A´ (ver  figura).  

     La proposición 49 afirma esencialmente que  la podaria del foco es el círculo de diámetro AA´ en la elipse e hipérbola. La  52  contiene lo que hoy solemos tomar a veces como definición de elipse  (PF+PF´=2a).

     Los focos, en Apolonio, son ta,ek,  ehs  parabolhs  geuhqeuta,  ohmeia es decir, "los puntos que surgen de la  aplicación"  de áreas.

    El libro IV es de bastante  menos valor. En él estudia el  número de puntos de intersección  de las cónicas. Es interesante desde un punto  de vista lógico  que de sus 57 proposiciones, las 23 primeras se demuestran por  reducción  al absurdo.

    El libro V, que consta  de 77 proposiciones es, con gran  diferencia, el más sorprendente  de todos. Se puede decir que en él Apolonio, 20  siglos antes  que Huygens (en su Horologium Oscillatorium, 1673) introduce ya,  a  su modo, con instrumentos puramente sintéticos, nociones tales  como normal a una  curva, evoluta, centro de curvatura, etc,..  y que logra obtener estos elementos  para las cónicas de la manera  más rigurosa.

    Es interesante observar  cómo Apolonio explicita en el  prólogo al libro V la novedad  de sus consideraciones: "En este libro quinto he  expuesto proposiciones  relativas a los segmentos de máxima y mínima distancia.  Has  de saber que mis predecesores y contemporáneos solo superficialmente  han  tratado la investigación de las líneas de distancia mínima  y solamente han  probado qué líneas rectas tocan a las secciones  cónicas y qué propiedades tienen  en virtud de ser tangentes.  Por mi parte yo he probado estas propiedades en el  libro primero  (sin hacer uso sin embargo en las demostraciones de la teoría de  las líneas de distancia mínima)......Las proposiciones en las que trato los segmentos  de distancia  mínima las he separado en clases y he tratado cada  una con una demostración  cuidadosa. También he puesto en conexión  estas cuestiones con las relativas a  los segmentos de distancia  máxima que antes he mencionado, porque consideraba  que los que  cultivan esta ciencia las necesitan a fin de obtener un conocimiento  del análisis y discusión (determinación de los límites de  posibilidad, dwrismoi ) de los problemas así como  de su síntesis. Por otra  parte, esta materia es una de esas que parecen dignas  de estudio  por sí mismas".

 La normal desde  un punto exterior viene definida a través  de la propiedad de  máxima o mínima distancia desde el punto a la curva. Apolonio  comienza por considerar el punto E sobre el eje principal tal  que AE=p/2.   

     Demuestra entonces que para cualquier punto  P sobre la elipse  se verifica   PE²=AE²+AN²((AA´+p)/AA´) y así está a distancia de E mayor  que A. Por tanto AE  es para E el segmento de distancia mínima desde E a la  elipse.  Considera luego E en situaciones más generales y análogamente  determina  la normal desde E. Las proposiciones más llamativas  de toda la obra son  ciertamente la 51 y 52 de  este libro quinto.  En ellas consigue ¡por  procedimientos puramente sintéticos!  obtener la evoluta de las cónicas como  lugar de los centros de  curvatura, mediante la determinación del número de  normales  distintas desde cada punto. Esto equivale a describir sintéticamente  las curvas que en el lenguaje de nuestra geometría analítica  tendrían por  ecuación

	(parábola)
(ax)2/3 +(by)2/3 = (a2 + b2)2/3	(elipse, hipérbola)

     En las proposiciones  55-63 obtiene las normales desde un punto exterior reduciendo  el problema a la  determinación del pie de la normal sobre la  cónica por intersección de ésta con  una hipérbola equilátera  asociada al punto exterior.

     En el libro VI, dedicado fundamentalmente  a la igualdad y semejanza de cónicas aparece el problema interesante  siguiente:  dada la cónica y dado un cono circular recto hallar  una sección del cono que sea  igual a la cónica dad. Es llamativa  la elegancia de la resolución de este  problema.

     Las  proposiciones del  libro VII, nuevas en su mayor parte, como Apolonio mismo  señala,  contienen numerosas relaciones métricas entre diámetros conjugados,  áreas, etc...”  

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