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Para
el lector contemporáneo el lenguaje usado por Apolonio y sus métodos de
demostración son sorprendentemente parecidos a
lo que usara Descartes muchos siglos después.
Sigamos con la cita de Don Miguel de Guzmán: Otras obras de Apolonio Apolonio escribió unas cuantas obras más que se
difundieron bastante
en su entorno, una buena parte relativa a
geometría, otras a campos de
la física donde sus profundos conocimientos
geométricos más pudieron aportar,
como es el caso del estudio de
la reflexión sobre espejos curvos, otras de
astronomía, campo este
en el que Apolonio ejerció una notable influencia,
viniendo citado explícitamente
por Tolomeo, autor del Almagesto
(ca.140 d.de C.) como
responsable de un importante teorema en la teoría
de epiciclos. Pero
parece cierto que las otras obras matemáticas
de las que nos han llegado noticias
fueron de interés más bien puntual,
a juzgar por el tipo de problemas que
trataban. He aquí una
descripción sucinta de cada una de ellas. La única obra, aparte de las Cónicas, que ha sobrevivido hasta nosotros, tiene por título Sobre la sección de la razón (logou apotomh) que fue conservada en árabe y traducida por Halley al latín en 1706. Halley había hecho el esfuerzo de aprender árabe a fin de ser capaz de leer esta obra de Apolonio. El problema principal se puede indicar de la forma siguiente
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Dado
el punto A, los puntos M,N, las dos rectas
r y s que pasan respectivamente
por M y N y dado el número a
trazar por A una recta T tal
que PM/PQ=a
Es fácil para nosotros, mediante nuestra geometría analítica, ver cómo
el problema se puede
reducir a uno acerca de intersección de
cónicas y así es sencillo imaginar
cómo pudo proceder Apolonio en
este y otros problemas semejantes con
suma facilidad, gracias a
sus conocimientos sobre cónicas.
Otra obra, ésta perdida, se titula Sobre
la sección del área ( cwriou
apotomh ).
El problema tratado
era como el anterior, salvo que ahora debería
ser MP.NQ=a
.
El tratado sobre la Sección determinada (dcwriomhuh
tomh)
consistía en lo siguiente. Dados
cuatro puntos sobre la recta A,B,C,D,
y el número a, determinar otro punto P sobre la
misma recta tal que
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La obra titulada Tangencias (Epajai) se hizo especialmente
famosa a lo largo de la historia por
contener lo que se vino a
llamar el Problema de Apolonio.
Dados tres elementos, cada
uno de los cuales puede ser un punto, una recta
o una circunferencia,
se pide hallar una circunferencia que sea
tangente a ellos (pase por
ellos en el caso de puntos). El caso
más complicado, dadas tres circunferencias
hallar otra tangente a las
tres, es el mencionado problema de Apolonio.
No conociéndose exactamente
la solución de Apolonio, esta cuestión
interesó vivamente a
muchos matemáticos famosos, entre ellos Vieta, Descartes,
Newton, Euler, Poncelet,...
El problema tratado en la obra sobre Inclinaciones
(ueuseis)
se puede proponer en general
como sigue: Dado un punto A,
dos curvas r y s, y la
longitud p, hallar una recta t que pase por A
tal que MN=p
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El tratado sobre Lugares planos
(topoi epipedoi)
estudia condiciones que conducen a rectas
y círculos como lugares geométricos.
De estos tratados se conocen algunas referencias sobre el contenido
a través de las noticias que proporciona Pappus
(siglo IV d.de C.), quien
debió de tener ante sus ojos las obras
de Apolonio o al menos algún
catálogo más extenso. Hay aún
otras obras que menciona cuyo contenido es más
oscuro. Una especie de
Arenario, al estilo del de Arquímedes con técnicas
para manejar números
grandes. Un tratado Sobre la hélice.
Otro Sobre
el dodecaedro y el icosaedro, en el que aparece la
igualdad de las apotemas de
los dos poliedros regulares inscritos
en la misma esfera, lo que conduce de
modo directo a una fácil comparación
de volúmenes (mayor para el dodecaedro,
contra lo que una
primera intuición podría sospechar). Pappus menciona también
un Tratado general (kaqolou
pragmareia)
en el que podría
haber observaciones sistemáticas de tipo axiomático
relativas a los fundamentos
de la geometría. Existe también una
oscura alusión a un tratado Sobre
los irracionales desordenados (peri
twu atak twu alogwu)
que tal vez podría consistir
en consideraciones que extendían, no
se sabe bien en qué
dirección, el contenido del libro X de los Elementos
de Euclides. Pappus
cita también un trabajo sobre Cálculo rápido (wkutokiou) que debía de referirse al
cálculo aproximado de p.
También se nombran en el catálogo de Pappus dos
trabajos de óptica, Sobre
el espejo cáustico (peri toupureiou)
y A los catrópticos (pros tous
katroptkous)
en los que sin duda
los conocimientos geométricos de Apolonio
se ponían en acción con gran
ventaja.” El
problema de Apolonio- Dados tres objetos que
pueden ser, cada uno de ellos, puntos, rectas o circunferencias, dibujar una circunferencia
tangente a las tres.- presenta
10 casos: 1.
Tres puntos tratado en el
Libro IV de los Elementos de Euclides 2.
Tres rectas tratado
en el Libro IV de los Elementos de Euclides 3.
Dos puntos y una recta 4.
Dos rectas y un punto 5.
Dos puntos y una circunferencia 6.
Dos circunferencias y un punto 7.
Dos rectas y una circunferencia 8.
Dos circunferencias y una recta 9.
Un punto, una recta y una circunferencia 10.
Tres circunferencias. Los
problemas 3,4,5,6,7,8,9 fueron analizados en la obra citada Tangencias. Don
Francisco
Javier García Capitán pacoga@ctv.es
en sus páginas: http://www.ctv.es/USERS/pacoga/bella/htm/_prologo.htm
y sobre todo en http://www.ctv.es/USERS/pacoga/bella/htm/apo-ccc.htm nos
introduce al problema 10, sus animaciones gráficas son excelentes, el
presenta soluciones para los otros 9 casos. Otras
referencias:
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Revista digital Matemática, Educación e Internet. |
