Reordenamiento

| José Rosales O | Pedro Díaz N.  | Revista Digital Matemática, Educación e Internet |

 

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Introducción

Suponga que $x_1,x_2,\ldots,x_n$ son $n$ números positivos. Sea $y_1,y_2,\ldots,y_n$ un reordenamiento arbitrario de los $x_1,x_2,\ldots,x_n$, entonces

$$\sum_{i=1}^n\frac{x_i}{y_i}\; \geq \; n.$$ (1)

La demostración de este resultado se puede realizar por inducción matemática. Dejamos los detalles al lector para que lo intente. Después de un rato se dará cuenta que no es un ejercicio simple de inducción. Sin embargo, si se usa el siguiente resultado la demostración resulta ser un simple corolario.

Teorema 1   Si el producto de $n$ números positivos $x_1,x_2,\ldots,x_n$ es igual a 1, entonces

$$x_1\, +\, x_2\, + \, \cdots \, + \, \geq \, n.$$ (2)

En efecto, la desigualdad (1) se obtiene del teorema anterior al tomar $b_i = x_i/y_i$ y observar que los $b_i$ son positivos y que

$$\begin{eqnarray*} \prod_{i+1}^nb_i & = & \prod_{i+1}^n \frac{x_i}{y_i}\\ & = & 1. \end{eqnarray*}$$

La demostración del teorema 1 puede encontrarse en [1] o bien intentarla por inducción. Sin embargo, la demostración de la desigualdad (1) puede también ser obtenida como un caso particular de una desigualdad estudiada por Hardy y Litlewood en los años 30. En la siguiente sección se estudiará tal desigualdad.

 

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