Reordenamiento

| José Rosales O | Pedro Díaz N.  | Revista Digital Matemática, Educación e Internet |

 

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Aplicaciones

 

En esta parte presentaremos una buena cantidad de ejemplos donde se prueba la potencia del teorema (2) con respecto a otros métodos.

Ejemplo 1

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ números positivos. Entonces

$$\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdots a_n} \; \leq \; \frac{a_1\,+\,a_2\,+\, \cdots\, +\,a_n}{n}$$ (4)

con igualdad si y solamente si $a_1=a_2=\cdots =a_n$. La desigualdad (4) es la famosa desigualdad de la media geométrica y la media aritmética. Para deducirla a partir del corolario (2) hagamos lo siguiente. Sea $G =\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdots a_n}$, luego tomemos

$$x_1=\frac{a_1}{G},\;x_2= \frac{a_1\cdot a_2}{G}\hspace{1cm}, \ldots \hspace{1cm}, x_n=\frac{a_1\cdots a_n}{G}= 1,$$

y apliquemos el teorema (1), que es en realidad un corolario del teorema (2), para obtener

$$\begin{eqnarray*} n & \leq & \frac{x_1}{x_n}\, +\, \frac{x_2}{x_1}\, +\, \cdots ... ...{a_1}{G}\, + \, \frac{a_2}{G}\, +\, \cdots \, +\, \frac{a_n}{G}, \end{eqnarray*}$$

lo cual es equivalente a que

$$\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdots a_n} \; \leq \; \frac{a_1\,+\,a_2\,+\, \cdots\, +\,a_n}{n}$$

Ejemplo 2

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ números positivos. Entonces

$$\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdots a_n} \; \geq \; \frac{n}{\frac{1}{a_1}\, +\,\frac{1}{a_2}\, +\, \cdots \, +\, \frac{1}{a_n} },$$ (5)

con igualdad si y solamente $a_1=a_2=\cdots =a_n$. La desigualdad (5) se conoce como la desigualdad de la media geométrica y de la media armónica. Para demostrarla sean $G$ y $x_1,x_2,\ldots,x_n$ como en el ejemplo anterior, entonces aplicando el teorema (1), se sigue que

$$\begin{eqnarray*} n & \leq & \frac{x_1}{x_2}\, +\, \frac{x_2}{x_3}\, +\, \cdots ... ...{G}{a_1}\, + \, \frac{G}{a_2}\, +\, \cdots \, +\, \frac{G}{a_n}, \end{eqnarray*}$$

lo cual es equivalente a

$$G \; \geq \; \frac{n}{\frac{1}{a_1}\, +\,\frac{1}{a_2}\, +\, \cdots \, +\, \frac{1}{a_n} },$$

con igualdad si y solamente $a_1=a_2=\cdots =a_n$.

Ejemplo 3

Sean $x_1\leq x_2 \leq \cdots \leq x_n$ y $y_1 \leq y_2 \leq \cdots \leq y_n$ números reales. Entonces

$$\begin{eqnarray*} \left( x_1y_1+x_2y_2 + \cdots + x_ny_n \right)^2 & \leq & \\ ... ...s + x_n^2 \right) \left(y_1^2+y_2^2 + \cdots + y_n^2 \right), \end{eqnarray*}$$

con igualdad si y solamente si para alguna constante $k$, se tiene que $x_i = ky_i$ para $1 \leq i \leq n$.

La desigualdad anterior es la famosa desigualdad de Cauchy-Schwarz. Para su demostración observe que si $x_1 = x_2 =\cdots = x_n =0$ ó $y_1=y_2=\cdots =y_n=0$, entonces el resultado es trivial. De otra forma, sea $S= \sqrt{x_1^2+x_2^2 + \cdots + x_n^2}$ y $T = \sqrt{y_1^2+y_2^2 + \cdots + y_n^2 }$. Definamos $a_i = x_i/S$ y $a_{n+i} = y_i/T$, para $i \leq i \leq n$. Por el corolario 1, se sigue que,

$$\begin{eqnarray*} 2 & = & \frac{x_1^2+x_2^2 + \cdots + x_n^2 }{S}\, +\, \frac{y_... ... +a_{2n}a_n \\ &= & \frac{2(x_1y_1+x_2y_2+\cdots x_ny_n)}{ST}, \end{eqnarray*}$$

lo cual es equivalente al resultado deseado. Igualdad se obtiene si y solamente si $a_i = a_{n+i}$ para $1 \leq i \leq n$, o lo que es lo mismo, $x_iT = y_iS$, para $1 \leq i \leq n$.

Ejemplo 4

Este ejemplo apareció como la primer pregunta de la Olimpiada Internacional de 1975, cuya sede fue Bulgaria. Sean $x_1\leq x_2 \leq \cdots \leq x_n$ y $y_1 \leq y_2 \leq \cdots \leq y_n$ números reales. Sea $z_1,\cdots,z_n$ una permutación arbitraria de los $y_1,y_2,\cdots,y_n$. Demuestre que

$$\sum_{i=1}^n(x_i\, - \, y_i)^2\; \leq \;\sum_{i=1}^n(x_i\, -\, z_i)^2.$$

La solución oficial es sumamente extensa, el lector puede comprobarla al ver [2] que es de donde nació la idea de este artículo. Sin embargo, si usamos el teorema 2 la solución es inmediata. En efecto, si desarrollamos la expresiones del lado izquierdo y del lado derecho de la desigualdad anterior, obtenemos

$$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n(x_i\, - \, y_i)^2 & \leq &\sum_{i=1}^n(x_i\, -\, ... ...i=1}^n( 2x_iz_i +y_i^2) & \leq & \sum_{i=1}^n ( 2x_iy_i + z_i^2) \end{eqnarray*}$$

Teniendo en cuenta que

$$\sum_{i=1}^n y_i^2 \; =\; \sum_{i=1}^n z_i^2,$$

se concluye que

$$\sum_{i=1}^n x_i y_i \; \geq \; \sum_{i=1}^n x_iz_i,$$

que es precisamente el teorema 2.

Ejemplo 5

Este ejemplo apareció como la quinta pregunta de la Olimpiada Internacional de 1978, cuya sede fue Rumania. Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ $n$ enteros positivos distintos. Pruebe que se cumple que

$$\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{k^2}\; \geq \; \sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$$

Sea $(a_1^\prime,a_2^\prime,\ldots,a_n^\prime)$ una permutación de términos crecientes de $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$, es decir que $a_1^\prime\, \leq \,a_2^\prime \, \leq \,\ldots \, \leq \,a_n^\prime$. Observe que al ser los $a_i$ enteros positivos y diferentes, se concluye que $a_i^\prime \geq i$, para $1 \leq i \leq n$. Usando el teorema 2 se concluye que

$$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n\frac{a_k}{k^2} & \geq & \sum_{k=1}^n\frac{a_k^\pr... ...q & \sum_{k=1}^n\frac{k}{k^2} \\ & = & \sum_{k=1}^n\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$$

Ejemplo 6

El siguiente problema apareció en una competencia de la República Popular de China, correspondiente al año 1985. Pruebe que

$$\frac{x_1^2}{x_2}\, +\, \frac{x_2^2}{x_3}\, +\, \cdots \, +\,... ...x_n^2}{x_1} \; \geq \; x_1\, +\, x_2 \, +\, \cdots \, +\, x_n,$$

para todos los números positivos $x_1,x_2,\ldots,x_n$.

Si tomamos $x_{n+1} = x_1$, entonces el lado derecho de la desigualdad anterior toma la siguiente forma al usar sumatorias

$$\begin{eqnarray*} \frac{x_1^2}{x_2}\, +\, \frac{x_2^2}{x_3}\, +\, \cdots \, +\, ... ...\sum_{i=1}^n x_i \\ &= & x_1\, +\, x_2 \, +\, \cdots \, +\, x_n \end{eqnarray*}$$

Ejemplo 7

Este ejemplo apareció como la quinta pregunta de la Olimpiada Internacional de 1983, cuya sede fue Francia. Sean $a,b,c$ los lados de un triángulo. Pruebe que

$$a^2b(a-b)\, +\, b^2c(b-c)\, +\, c^2a(c-a)\; \geq \; 0.$$

Sin pérdida de generalidad podemos asumir que $a \geq b \geq c$. En primer lugar probaremos que se cumple que $c(a+b-c) \geq b(c+a-b) \geq a(b+c -a)$. En efecto, observe que

$$c(a+b-c) - b(c+a-b) \; =\; ac -c^2 -ab +b^2\; =\; (b-c)(b+c-a) \; \geq \; 0.$$

La otra desigualdad se prueba en forma totalmente análoga. Ahora, usando el teorema 2, se sigue que

$$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{c}\right)a(b+c-a) + \left(\frac{1}{a}\right)b(a... ...right)b(c+a-b) +\left(\frac{1}{c}\right)c(a+b-c) & = & a+ b + c \end{eqnarray*}$$

Simplificando, obtenemos que

$$\frac{a(b-a)}{c}\, +\, \frac{b(c-b)}{a}\, +\, \frac{c(c-a)}{b}\; \leq \; 0,$$

la cual es equivalente a la desigualdad original. El mismo argumento se aplica si se supone que $a \geq c \geq b$.

Para finalizar se dejan, como ejercicio, los siguientes ejemplos

Ejemplo 8

El siguiente problema apareció en una competencia de la ciudad de Moscú, correspondiente al año 1963. Pruebe que

$$\frac{a}{b+c}\, +\, \frac{b}{c+a}\, +\, \frac{c}{a+b} \; \geq \; \frac{3}{2},$$

suponiendo que $a,b,c$ son números positivos.

Ejemplo 9

Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales. Entonces

$$\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}{n}}\; \geq \; \frac{x_1 +x_2+\cdots +x_n}{n},$$

con igualdad si y solamente si $x_1=x_2=\cdots=x_n$.

Ejemplo 10

El siguiente problema apareció en la Olimpiada Internacional de Matemática del año de 1964. Sean $a,b,c$ los lados de un triángulo. Pruebe que

$$a^2(b+c-a)\, +\, b^2(c+a-b)\, +\, c^2(a+b-c)\; \leq \; 3abc.$$

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