Acerca de las diagonales del Hipercubo

| José Rosales O | Pedro Díaz N.  | Revista Digital Matemática, Educación e Internet |

 

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Acerca de las diagonales del Hipercubo   

José Rosales Ortega.
Escuela de Matemática, Instituto Tecnológico de Costa Rica
Departamento de Matemática, CINVESTAV.

 

Resumen

Se presenta una fórmula para el número de diagonales de un cubo, el cual es generado por vectores linealmente independientes, en n dimensiones y además se generaliza un teorema del álgebra lineal.

 

 

Introducción

El gran matemático Paul Erdös decía que un matemático era aquel que estaba conjeturando y probando teoremas. En la tradición matemática de nuestras universidades latinoamericanas, por cierto que muy poca, no se acostumbra a inculcar este punto de vista. El presente artículo es producto de este tipo de visión, la de Erdös. En la mayoría de cursos de álgebra lineal que se imparten en nuestras universidades es común que se enuncie y demuestre el siguiente teorema: "Dados dos vectores $u$ y $v$ se cumple que:

\begin{displaymath} \vert\vert u+v\vert\vert^2 + \vert\vert u-v\vert\vert^... ... 2\vert\vert u\vert\vert^2 + 2\vert\vert v\vert\vert^2, \end{displaymath}

 (1)

La demostración de tal resultado es trivial, en efecto
\begin{eqnarray*} \vert\vert u+v\vert\vert^2 + \vert\vert u-v\vert\vert^2\... ...= & 2\vert\vert u\vert\vert^2 + 2\vert\vert v\vert\vert^2. \end{eqnarray*}

El resultado anterior tine una interpretación geométrica muy interesante. Recordemos que si los vectores $u$ y $v$ son linealmete independientes, entonces ellos generan un paralelogramo. Una de las diagonales de dicho paralelogramo, la llamada principal, es dada por $\vert\vert u+v\vert\vert$ y la otra es dada por $\vert\vert u-v\vert\vert$. El teorema anterior establece que la suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo es igual a dos veces la suma de los cuadrados de los lados del paralelogramo. En este caso podemos concluir que en $I\!\!R^2$ el 2-cubo, o paralelogramo, posee dos diagonales. La pregunta natural que surge es: qué pasa en $I\!\!R^3$? La respuesta es interesante. Si tenemos tres vectores linealmente independientes, digamos $u$ ,$v$ y $w$, podemos formar un cubo. En este caso el número de diagonales es cuatro. En efecto, las diagonales son $\vert\vert u+v+w \vert\vert$, $\vert\vert u+v-w \vert\vert$, $\vert\vert u+w-v \vert\vert$ y $\vert\vert v+w-u \vert\vert$, no hay otras. Cuál es el análogo en $I\!\!R^3$ del teorema anterior? En $I\!\!R^3$ el teorema anterior diría que

\begin{displaymath} \sum\mbox{diagonales}^2 \; =\; 4 \sum\mbox{aristas}^2. \end{displaymath}

 (2)