Acerca de las diagonales del Hipercubo

| José Rosales O | Pedro Díaz N.  | Revista Digital Matemática, Educación e Internet |

 

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Con base en el teorema anterior podemos conjeturar el siguiente teorema, el cual representa una extensión de la fórmula (1).

Teorema
Sea $\{u_1,u_2,\ldots,u_n \}$ un conjunto de vectores linealmente independientes en $I\!\!R^n$ y sean $d_1,d_2,\ldots,d_{2^{n-1}}$ el número de diagonales del hiperparalelepípedo que es generado por los $u_i$. Entonces se cumple que

\begin{displaymath}\vert\vert d_1\vert\vert^2 + \vert\vert d_2\vert\vert^2 +\... ...2\vert\vert^2 + \cdots \vert\vert u_n\vert\vert^2. \right)\end{displaymath}


La demostración de este teorema procede en la siguiente forma. En primer lugar, observemos que si desarrollamos el término $\vert\vert u_1+\cdots +u_n\vert\vert^2$, obtenemos $n$ términos del tipo $\vert\vert u_i\vert\vert^2$, donde $i=1,2,\ldots,n$, y además $(n^2-n)$ términos del tipo $u_i\cdot u_j$, para $i\neq j$. Esto se sigue del hecho, obvio por cierto, de que

\begin{displaymath}\vert\vert u_1 + \cdots + u_n \vert\vert^2\; =\; \ve... ...\vert\vert u_n\vert\vert^2 + \sum_{i\neq j}^n u_i\cdot u_j\end{displaymath}

En segundo lugar, observemos que si desarrollamos un término del siguiente tipo $\vert\vert u_1+\cdots+u_k-u_{k+1}-\cdots-u_{n}\vert\vert^2$, obtenemos un total de $2k(n-k)$ términos negativos de la forma $u_i\cdot u_j$. Observemos que el número de términos de la forma $u_i\cdot u_j$, donde $i\neq j$, al considerar la expresión

\begin{displaymath}\sum_{i=1}^{2^{n-1}}\vert\vert d_i\vert\vert^2,\end{displaymath}

es dado por $2^{n-1}(n^2-n)$. Esto se sigue de la primera observación, ya que por cada diagonal hay $n^2 - n$ términos de la forma $u_i\cdot u_j$ y en total hay $2^{n-1}$ diagonales. Lo importante del artículo es demostrar que la mitad de estos términos son negativos, es decir, los $u_i\cdot u_j$. Para mostrar esto veamos que para $d_1$ tenemos que $(n-1){n \choose 1}$ es la cantidad de términos negativos de la forma $u_i\cdot u_j$. Para $d_2$ tenemos que la cantidad de términos negativos de la forma $u_i\cdot u_j$ es dada por $2(n-2){n \choose 2}$. En general, el número de términos negativos de la forma $u_i\cdot u_j$ en $d_k$ es dado por $k(n-k){n \choose k}$. De lo anterior podemos concluir que el número de términos negativos de la forma $u_i\cdot u_j$ es dado por

\begin{eqnarray*} N & = & \sum_{k=1}^{n-1}k(n-k){n \choose k}\\ & = & n \su... ... \frac{2^n}{2^2}(n+n^2) + n^2\\ & = & 2^{n-2}(n^2 -n). \end{eqnarray*}

Del párrafo anterior se puede concluir la demostración de nuestro teorema.