Gráficos 3D

Interpretación geométrica de algunos conceptos del cálculo en varias variables

Vector tangente

En esta sección vamos a implementar el vector tangente a una curva. De aquí se puede saltar de manera sencilla a otros conceptos como derivada direccional y plano tangente.

Recordemos que si un curva suave $\,C\,$ está parametrizada por $\,r(t)=(\,x(t),\,y(t),\,z(t)\,)\; \; \mbox{con}\; \; t \in [a,b],\,$ el vector tangente en $\,P=r(t_0)\,$ es $\,r^\prime(t_0)= (\,x^\prime(t_0),\,y^\prime(t_0),\,z^\prime(t_0)).\,$

La implementación de la curva $\,C\,$ podría ser

curvaC = Line[Table[{x(t),y(t),z(t)}, {t, a, b, 0.1}]];

mientras que el vector tangente lo podemos implementar usando Arrow3D[] de la biblioteca DrawGraphics

independentVariables = {t -> t0};
P = {x(t) , y(t) , z(t) };
vT = {x'(t), y'(t) , z'(t)};
vTT=Arrow3D[P,P + vT];
g=Graphics3D[{Point[P], curvaC, vvT}];

Ejemplo 9

Graficar la curva $\,C: \;\left(x,\,4-x,\,4-(x-1)^2\right)\,$ con $\,x \in [0,3]\,$ y el vector tangente a $\,C\,$ en un punto de arrastre $\,P \in C\,$

Figura 10.

[Ver con LIveGraphics3D]

(*-------------------------------  Gráfico ------------------------------*)
  SetOptions[Arrow3D, HeadScaling3D-> 1, HeadLength3D -> 0.3];
  independentVariables = {x -> 1, y ->1};
  dependentVariables = {};

  P  = {x, 4 - x, 4 - (x - 1)^2};  (*puntos de la curva*)
  vT = {1,-1, -2(x - 1)};          (*vector tangente   *)
  curva =Line[Table[{t, 4 - t, 4 - (t - 1)^2}, {t, 0, 3, 0.2}]];

  vTT = Arrow3D[P, P + vT];
 punto = { AbsolutePointSize[6],
           RGBColor[1, 0, 0],
           Point[P]
      };

g = Graphics3D[{
                Ejes[-0.5, 5, -0.5, 5, -0.1, 5],
                punto, RGBColor[0, 0, 1],
                AbsoluteThickness[2],
                RGBColor[0.0588235, 0.52549, 0.0705882],
                vTT,
                RGBColor[0, 0, 1],
                curva},
                Boxed -> False,
                ViewPoint -> {3.096, 0.100, 1.095},
                PlotRange -> All
             ];

Show[N[g] //. Join[independentVariables, dependentVariables]];

(*-----------------------------  página Web  -----------------------------*)
(* Generar la página Web 'ejemplo7.html'.                                 *)
(* El archivo ejemplo7.m  es el archivo de coordenadas                    *)

  WriteLiveForm["ejemplo7.m",g,Dir\[Rule]"C:\\MisLG3D\\"];
  SetDirectory["C:\\MisLG3D\\"];
  strm=OpenWrite["ejemplo7.html"];

(*código de la página Web*) pagina="<HTML><HEAD></HEAD> <BODY>
    <APPLET height=400 width=400  archive=live.jar   code=Live.class >
    <PARAM NAME=INPUT_FILE VALUE = ejemplo7.m >
    <PARAM NAME=INDEPENDENT_VARIABLES VALUE='{x->1}'>
    <PARAM NAME=DEPENDENT_VARIABLES VALUE='{x->If[x<0,0,If[x>3,3,x]]}'>
    </APPLET>
    </BODY></HTML>";

WriteString[strm,pagina];
Close[strm];

Derivada direccional y plano tangente

Para la implementación de la interpretación geométrica de la derivada direccional, necesitamos una superficie suave $\,S,\,$ un punto $\,P \in S\,$ y un vector $\,\overrightarrow{u}\,$ . Usamos el hecho (geométrico) de que la recta tengente a $\,S\,$ en $\,P,\,$ en la dirección de $\,\overrightarrow{u}=(u_1,u_2)\, \in \, \mathbb{R}^2,\,$ es la recta tangente en $\,P,\,$ a la curva $\,C\,$ de intersección entre el plano generado por la recta $\,L: \; (x,y,z)=P\,+\,t\, (u_1,u_2,0)\,$ y la superficie $\,S\,$ . Por tanto podemos usar el código del ejemplo anterior.

Para el caso del plano tangente a $\,S\,$ en $\,P \in S\,$ , observamos que este plano $\,\Pi\,$ tiene ecuación vectorial $\,\Pi: \; (x,y,z)= \, P \,+t\, \overrightarrow{v}\,+\, s\,\overrightarrow{w}\,$ . Podemos escoger $\,\overrightarrow{v}\,$ como el vector tangente a $\,S\,$ en $\,P\,$ , en la dirección del eje X, o sea en la dirección de $\,\overrightarrow{u}=(1,0)\,$ y $\,\overrightarrow{w}\,$ como el vector tangente a $\,S\,$ en $\,P\,$ , en la dirección del eje Y, o sea en la dirección de $\,\overrightarrow{u}=(0,1)\,$

Figura 11.

Figura 12.

[Ver con LiveGraphics3D]

[Ver con LiveGraphics3D]

Conclusión

A través de los ejemplos se han presentado las ideas básicas de cómo usar LiveGraphics3D para generar gráficos parametrizados. Los parámetros se declaran como variables independientes y su valor cambia arrastrando puntos que los contienen en sus coordenadas (de manera limpia). Las posibilidades de programación están limitadas por las expresiones que reconoce LG3D que, en particular, no admite constructores de listas ni control de flujos. Aún así se pueden crear gráficos parametrizados de gran complejidad.

Bibliografía

1	Martin, Kraus. LiveGraphics3D. Consultada 24 mar. 2005. Disponible en http://wwwvis.informatik.uni-stuttgart.de/~kraus/LiveGraphics3D/index.html
2	Pita R. C. 1995. Cálculo Vectorial. Prentice-Hall. México, MX, 1078 p.
3	Davis, B.1994. Calculus and Mathematica. Addison-Wesley. New York, US, 330p.
4	Schneider, Ph. Eberly, D. 2003. Geometric Tools for Computers Graphics. Ed. Morgan Kaufmann. San Francisco California. 1007
5	Wolfram Research. Consultado 20 de mayo 2005. Disponible en http://www.wolfram.com
6	LiveGraphics3d Home. Consultado 20 de mayo de 2005. Disponible en http://www.vis.informatik.uni-stuttgart.de/ kraus/LiveGraphics3D/
7	Arrow3D. Consultado 20 de mayo 2005. Disponible en http://library.wolfram.com/infocenter/TechNotes/4117/
8	DrawGraphics. Consultado 20 de mayo 2005. Disponible en http://home.earthlink.net/ djmp/Mathematica.html

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