Introducción

Antes de abocarnos al estudio de la integral definida y de la integral indefinida, daremos una pequeña semblanza histórica de la relación entre el cálculo diferencial y el integral.

A continuación transcribiremos algunos de los párrafos al respecto tomados del libro La Matemática: su contenido, métodos y significado (que se menciona en la bibliografía).

Durante la segunda mitad del siglo , Newton y Leibniz dieron un paso decisivo en la matemática de las magnitudes variables, al sentar las bases del cálculo diferencial e integral. "Este fue el verdadero comienzo del análisis, puesto que el objeto de este cálculo son las propiedades de las funciones mismas, distinto del objeto de la geometría analítica que son las figuras geométricas. De hecho, lo que hicieron Newton y Leibniz fue completar esa cantidad inmensa de trabajo que habían desarrollado hasta entonces muchos matemáticos y que se extendía hasta los métodos de determinación de áreas y volúmenes empleados por los antiguos griegos".

"Aquí solo queremos llamar la atención acerca de los orígenes de este cálculo, que fueron principalmente los nuevos problemas de la mecánica y los viejos problemas de la geometría, consistentes estos últimos en la determinación de tangentes a una curva dada y el cálculo de áreas y volúmenes. Estos problemas geométricos habían sido ya estudiados por los antiguos (basta mencionar a Arquímedes), y también por Kepler, Cavalieri, y otros, a principios del siglo . Pero el factor decisivo fue el descubrimiento de una notable relación entre estos dos tipos de problemas y la formulación de un método general para resolverlos; tal fue la obra de Newton y Leibniz.

Esta relación, que permitió conectar los problemas de la mecánica con los de la geometría, fue descubierta gracias a la posibilidad (brindada por el método de coordenadas) de hacer una representación gráfica de la dependencia de una variable respecto a la otra, o, en otras palabras, de una función. Con la ayuda de esta representación gráfica es fácil formular la relación antes mencionada entre los problemas de la mecánica y la geometría (relación que fue el origen del cálculo diferencial e integral) y describir así el contenido general de estos dos tipos de cálculo.

El cálculo diferencial es, básicamente, un método para encontrar la velocidad de un movimiento cuando se conoce la distancia recorrida en un tiempo dado. Este problema se resuelve por "derivación" y es completamente equivalente al problema de dibujar una tangente a la curva que representa la dependencia de la distancia respecto del tiempo. La velocidad en el instante es igual a la pendiente de la tangente a la curva en el punto correspondiente a .

El cálculo integral es en esencia un método para encontrar la distancia recorrida cuando se conoce la velocidad, y en general, de encontrar el resultado total de la acción de una magnitud variable. Evidentemente, este problema es recíproco del problema de cálculo diferencial (el problema de encontrar la velocidad), y se resuelve por "integración". Resulta que el problema de la integración es en todo equivalente al de encontrar el área bajo la curva que representa la dependencia de la velocidad respecto al tiempo. La distancia recorrida en el intervalo de tiempo es igual al área bajo la curva entre las rectas que corresponden en la gráfica a los valores .

Haciendo abstracción de la formulación mecánica de los problemas y operando con funciones en vez de dependencias de distancia o velocidad respecto al tiempo se obtienen los problemas de cálculo diferencial e integral en forma abstracta.

Fundamental para el cálculo como para todo el desarrollo posterior del análisis, es el concepto de límite, que fue formulado algo más tarde que los otros conceptos fundamentales de variable y función. En los primeros días del análisis el papel que más tarde desempeñaría el límite, corrió a cargo de ese concepto algo nebuloso que es el infinitésimo. Los métodos para el cálculo real de la velocidad, conocida la distancia recorrida (a saber, la derivación), y de la distancia, conocida la velocidad (integración), se basaban en la unión del álgebra con el concepto de límite. El análisis se originó por la aplicación de estos conceptos y métodos a los referidos problemas de la mecánica y la geometría (y también a otros problemas: por ejemplo, los de máximos y mínimos). El análisis fue a su vez absolutamente necesario para el desarrollo de la mecánica, en la formulación de cuyas leyes ya se encontraban los conceptos analíticos en forma latente. Por ejemplo la segunda Ley de Newton, tal como él la formuló, establece que "la variación de la cantidad de movimiento es proporcional a la fuerza actuante" (con más precisión: el ritmo de variación del impulso es proporcional a la fuerza). Por consiguiente, si deseamos hacer uso de esta ley debemos estar en condiciones de definir el ritmo de variación de una variable, esto es, de derivarla. (Si establecemos la ley diciendo que la aceleración es proporcional a la fuerza, el problema es el mismo, porque la aceleración es proporcional al ritmo de variación del impulso). También está perfectamente claro que, para establecer la ley que rige un movimiento cuando la fuerza es variable (en otras palabras, cuando el movimiento tiene lugar con aceleración variable), es preciso resolver el problema inverso de encontrar una magnitud dado su ritmo de variación; en otras palabras, es preciso integrar. Así, pues, se puede decir que Newton se vio simplemente obligado a inventar la derivación y la integración con el fin de poder desarrollar la mecánica".

(Aleksandrov, ).