Lic. Elsie Hernández S.

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La integral definida

Hemos visto entonces, "que el concepto de integral y en general del cálculo integral tuvo su origen histórico en la necesidad de resolver problemas concretos, uno de cuyos ejemplos más característicos es el cálculo del área de una figura curvilínea" (AlekSandrov, $1979,163$).

Consideremos una curva situada sobre el eje $X$ que representa la gráfica de la función con ecuación $y=f(x)$. Se desea encontrar el área $S$ de la superficie limitada por la curva con ecuación $y=f(x)$, el eje $X$ y las rectas paralelas al eje $Y$ con ecuaciones $x=a\;\;\mbox{y}\;\;x=b$. Para tal efecto, dividimos el intervalo $[a,b]$ en $n$ partes, no necesariamente iguales como se muestra a continuación:

Denotamos con $\triangle x_{1}$ la longitud de la primera parte, la de la segunda parte con $\triangle x_{2}$ y así sucesivamente hasta la última $\triangle x_{n}$. En cada parte elegimos puntos $r_{1},\;r_{2},...r_{n}$, de tal forma que $f(r_{1})\cdot\triangle x_{1}$ nos da el área del primer rectángulo, ($\Delta x_1$, es la base y $f(r_1)$ la altura), $f(r_2)\;\Delta x_2$ da el área del segundo rectángulo y por lo tanto $f(r_{n})\cdot\triangle x_{n}$ da el área del enésimo rectángulo. Luego se tiene que:

$S_{n}=f(r_{1})\cdot\triangle x_{1}+f(r_{2})\cdot\triangle x_{2}+...+f(r_{n})\cdot\triangle x_{n}$

es la suma de las áreas de los rectángulos de la figura anterior.

Obsérvese que cuanto más fina sea la subdivisión de segmento $[a,b]$, más próxima estará $S_{n}$ al área $S$. Si se considera una sucesión de tales valores por división del intervalo $[a,b]$ en partes cada vez más pequeñas, entonces la suma $S_{n}$ tenderá a $S$. Al decir subdivisiones cada vez más pequeñas, estamos suponiendo no solo, que $n$ crece indefinidamente, sino también que la longitud del mayor de los $\triangle x_{i}$, en la enésima división tiende a cero.

Luego:

$S=\displaystyle {\lim_{max\;\triangle x_{i} \rightarrow{0}}{[f(r_{1})\cdot\triangle x_{1}+f(r_{2})\cdot\triangle x_{2}+...+f(r_{n})\cdot\triangle x_{n}]}}$

$S=\displaystyle {\lim_{max\;\triangle x_{i} \rightarrow{0}}{\left({\begin{array... ...n \\ \sum \\ i=1 \\ \end{array}}\;f(r_{i})\cdot\triangle x_{i}\right)}}$ (A)

Por lo que el cálculo del área buscada se ha reducido a calcular el límite (A).

El cálculo del límite (A) también se presenta en otros problemas; por ejemplo, cuando se desea determinar la distancia $S$ recorrida por un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta, con velocidad variable $v=f(t)$, en el intervalo de tiempo entre $t=a\;\;\mbox{y}\;\;t=b$.

Supongamos que la función $f(t)$ es continua, o sea, que en intervalos pequeños de tiempo la velocidad solo varía ligeramente. Se divide el intervalo $[a,b]$ en $n$ partes de longitudes $\triangle t_{1},\;\triangle t_{2},...,\triangle t_{n}$. Para calcular un valor aproximado de la distancia recorrida en cada intervalo $\triangle t_{i}$, (con $i=1,\;2,...,n$) vamos a suponer que la velocidad en este intervalo de tiempo es constante e igual a su verdadero valor en algún punto intermedio $r_{i}$. Luego, la distancia total recorrida estará expresada aproximadamente por la siguiente suma:

$S_{n}=\begin{array}{c} n \\ \sum \\ i=1 \\ \end{array}\,f(r_{i})\triangle t_{i}$

siendo el verdadero valor de la distancia $S$ recorrida en el tiempo $b-a$, el límite de tales sumas para subdivisiones cada vez más finas, o sea, que será el límite (A):

$S=\displaystyle {\lim_{max\;\triangle t_{i} \rightarrow{0}}{\left({\begin{array... ...n \\ \sum \\ i=1 \\ \end{array}}\;f(r_{i})\cdot\triangle t_{i}\right)}}$

Es necesario determinar ahora la conexión entre el cálculo diferencial y el integral, pero antes calculemos el área de la región limitada por la curva en ecuación $y=x^{2}$ y las rectas con ecuación $y=0,\;x=3$.

Dividimos el intervalo $[0,3]$ en $n$ partes iguales de tal forma que la longitud de cada $\triangle x$ esté dado por $\displaystyle {\frac{3-0}{n}=\frac{3}{n}}$, y tomamos como puntos $r_{i}$ los extremos derechos de cada segmento, por lo que $r_{0}=0,\;r_{1}=0+\triangle x,\;r_{2}=0+2\triangle x,...,r_{n}=b=n\triangle x$

Luego:

$S_{n}=f(r_{1})\cdot\triangle x+f(r_{2})\cdot\triangle x+f(r_{3})\cdot\triangle x+...+f(r_{n})\cdot\triangle x$

$=(\triangle x)^{2}\triangle x+(2\triangle x)^{2}\triangle x+(3\triangle x)^{2}\triangle x+...+(n\triangle x)^{2}\triangle x$

$=(\triangle x)^{3}(1+2^{2}+3^{2}+...+n^{2})$

$=(\triangle x)^{3}\;\displaystyle {\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$ (*)

La igualdad $1+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=\displaystyle {\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$ puede comprobarse utilizando el método de inducción matemática.

$=\displaystyle {\left(\frac{3}{n}\right)^{3}\;{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}}$

$=\displaystyle {\frac{27}{n^{3}}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$

$=\displaystyle {\frac{9}{2}\cdot\frac{(n+1)(2n+1)}{n^{2}}=\frac{9}{2}\cdot\frac{n+1}{n}\cdot\frac{2n+1}{n}}$

$=\displaystyle {\frac{9}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)}$

Entonces $\displaystyle {\lim_{n \rightarrow{+\infty}}{S}_{n}=\lim_{n \rightarrow{+\infty}}{\frac{9}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)}}$

$=\displaystyle {\frac{9}{2}(1+0)(2+0)}=9$

Por lo tanto, el área de la región es 9 unidades cuadradas.

Puede observarse que el procedimiento utilizado es bastante laborioso y depende del conocimiento de una serie de fórmulas como la señalada con (*). Es necesario por tanto establecer un procedimiento que agilice el cálculo del área de una región curvilínea y para ello, vamos a establecer la relación existente entre el cálculo diferencial e integral.

El límite (A) recibe el nombre de integral definida de la función $f(x)$ en el intervalo $[a,b]$ y se denota por $\displaystyle {\int_{a}^{b}{f(x)\;dx}}$, donde $f(x)\;dx$ se llama integrando, los límites de integración son $a$ y $b$, con "a" como límite inferior y "b" como límite superior. Debemos contar con un método general que permita el cálculo de las integrales definidas.

"Históricamente esta cuestión interesó a los matemáticos durante mucho tiempo, por la utilidad que ello suponía para el cálculo de áreas de figuras curvilíneas, volúmenes de cuerpos limitados por superficies curvas, etc.

El número de problemas particulares que se consiguió resolver (cálculo de áreas, volúmenes, centros de gravedad de sólidos, etc.) fue creciendo gradualmente, pero los progresos en lo referente a encontrar un método general fueron, al principio, extremadamente lentos. Dicho método sólo fue descubierto cuando se hubo acumulado suficiente material teórico y práctico, proporcionado por la experiencia diaria. El trabajo de recoger y generalizar este material avanzó muy lentamente hasta el final de la Edad Media; y su rápido desarrollo posterior fue una consecuencia directa del acelerado crecimiento del poder productivo de Europa como resultado de la desaparición de los primitivos métodos (feudales) de producción, y la aparición de otros nuevos (capitalistas).

La acumulación de datos relacionados con las integrales definidas marchó paralela a la investigación de problemas relacionados con la derivada de una función...
Esta inmensa labor preparatoria fue coronada con el éxito en el siglo $XVIII$ por los trabajos de Newton y Leibniz. En este sentido se puede decir que Newton y Leibniz son los creadores del cálculo diferencial e integral.

Una de las contribuciones fundamentales de Newton y Leibniz fue que aclararon finalmente la profunda conexión entre el cálculo diferencial e integral, que proporciona, en particular, un método general para calcular las integrales definidas de una clase bastante amplia de funciones.

Para calcular esta conexión, analicemos un ejemplo tomado de la mecánica. Supongamos que un punto material se mueve a lo largo de una línea recta con velocidad $y=f(t)$, donde $t$ es el tiempo. Se sabe que la distancia $\delta$ recorrida por el punto en el intervalo de tiempo desde $t=t_{1}\;\;\mbox{a}\;\;t=t_{2}$ viene expresada por la integral definida:

$\delta = \displaystyle {\int_{t_{1}}^{t_{2}}{f(t)}\,dt}$

Supongamos conocida la ecuación del movimiento del punto material; esto es, la función $s=F(t)$, que expresa la dependencia de la distancia $s$ respecto al tiempo $t$ a partir de un punto inicial $A$ sobre la recta. La distancia recorrida en el intervalo de tiempo $[t_{1},t_{2}]$ es evidentemente igual a la diferencia $\delta =F(t_{2})-F(t_{1})$

De este modo, consideraciones físicas llevan a la igualdad:

$\displaystyle {\int_{t_{1}}^{t_{2}}{f(t)\;dt}}=F(t_{2})-F(t_{1})$

que expresa la conexión entre la ecuación del movimiento del punto material y su velocidad.

Desde un punto de vista matemático la función $F(t)$ puede definirse como una función cuya derivada para todos los valores de $t$ del intervalo dado es igual a $f(t)$, esto es:

$F'(t)=f(t)$

Una tal función se llama primitiva de $f(t)$.

Hay que tener en cuenta que si la función $f(t)$ tiene al menos una primitiva, entonces tiene un número infinito de ellas; porque si $F(t)$ es una primitiva de $f(t)$; entonces $F(t)+C$ (donde $C$ es una constante arbitraria) es también una primitiva. Además de este modo obtenemos todas las primitivas de $f(t)$ puesto que si $F_{1}(t)\;\;\mbox{y}\;\;F_{2}(t)$ son primitivas de la misma función $f(t)$ entonces su diferencia $\phi (t)=F_{1}(t)-F_{2}(t)$, tiene una derivada $\phi '(t)$ que es igual a cero en todo punto del intervalo dado, por lo que $\phi '(t)$ es constante.

Nota: Por el teorema del valor medio $\phi (t)-\phi (t_{0})=\phi' (v)(t-t_{0})=0$ donde $v$ se encuentra entre $t\;\;\mbox{y}\;t_{0}$. Así $\phi (t_{0})=\phi (t_{0})=$ constante para todo $t$.

Desde un punto de vista físico los diferentes valores de la constante $C$ determinan movimiento que sólo difieren entre sí en el hecho de que corresponden a todas las posibles elecciones del punto inicial del movimiento.

Se llega así al resultado de que para una clase muy amplia de funciones $f(x)$, que incluye todos los casos en los que la función $f(x)$ puede ser considerada como velocidad de un punto en el instante $x$ se verifica la siguiente igualdad.

$\displaystyle {\int_{a}^{b}{f(x)\;dx}=F(b)-F(a)}$ (B)

donde $F(x)$ es una primitiva cualquiera de $f(x)$.

Esta desigualdad es la famosa fórmula da Leibniz y Newton que reduce el problema de calcular la integral definida de una función a la obtención de una primitiva de la misma, y constituye así un enlace entre el cálculo diferencial e integral.

Muchos de los problemas concretos estudiados por los más grandes matemáticos se resuelven automáticamente con esta fórmula que establece sencillamente que la integral definida de la función $f(x)$ en el intervalo $[a,b]$ es igual a la diferencia entre los valores de cualquiera de sus primitivas en los extremos superior e inferior del intervalo. La diferencia (B) se acostumbra escribir así:

$\displaystyle {F(x)\;\left\vert _{a}^{b}\right.= F(b)-F(a)}$"

(Aleksandrov, $1979,\;166-169$)

Por ejemplo, utilizando la fórmula de Newton-Leibniz puede calcularse $\displaystyle {\int_{0}^{3}{x^{2}\;dx}}$, que determina el área de la región limitada por la curva con ecuación $y=x^{2}$ y las rectas con ecuaciones $y=0,\;x=3\;\;\mbox{y}\;\;x=0$, de la siguiente manera:

$\displaystyle {\int_{0}^{3}{x^{2}\;dx}=\frac{x^{3}}{3}\;\left\vert _{0}^{3}=\frac{3^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3}=9-0=9(ul)^{2}\right.}$

Observe que $\displaystyle {D_{x}\left(\frac{x^{3}}{3}\right)=\frac{3x^{2}}{3}=x^{2}}$, por lo que $\displaystyle {\frac{x^{3}}{3}}$ es una primitiva de $x^{2}.$

Veamos otro ejemplo en el que utilizamos esta fórmula:

$\displaystyle {\int_{2}^{4}{(x^{2}+1)\;dx}}$

$=\displaystyle {\left(\frac{x^{3}}{3}+x\right)\;\left\vert _{2}^{4}=\frac{4^{3}}{3}+4-\left(\frac{2^{3}}{3}+2\right)\right.=\frac{62}{3}}$

Note que:

$\displaystyle {Dx \left(\frac{x^{3}}{3}+x\right)=x^{2}+1}$ por lo que $\displaystyle {\frac{x^{3}}{3}+x}$ es una primitiva de $x^{2}+1$

"De los razonamientos hechos al exponer la fórmula de Newton y Leibniz se desprende, claramente que esta fórmula es la expresión matemática a una conexión auténtica del mundo real. Es un bello e importante ejemplo de cómo la matemática da expresión a las leyes objetivas. Debemos observar que en sus investigaciones matemáticas Newton siempre adoptó un punto de vista físico. Sus trabajos sobre los fundamentos del cálculo diferencial e integral no pueden ser separados de sus trabajos sobre los principios de la mecánica.

Los conceptos de análisis matemático -como la derivada o la integral- tal como se presentaban a Newton y sus contemporáneos, aún no había "roto" del todo con sus orígenes físico y geométrico (velocidad y área). De hecho era de un carácter mitad matemático y mitad físico. Las condiciones existentes en esa época no eran todavía las apropiadas para lograr una definición puramente matemática de esos conceptos. Por consiguiente, el investigador sólo podía manejarlos correctamente en situaciones complejas sí permanecía en contacto inmediato con los aspectos prácticos del problema incluso durante las etapas intermedias (matemáticas) de su razonamiento.

Desde este punto de vista el trabajo creador de Newton tuvo un carácter diferente del de Leibniz, ya que sus descubrimientos tuvieron lugar independientemente. Newton se dejó guiar siempre por el enfoque físico de los problemas. En cambio las investigaciones de Leibniz no tienen una conexión tan inmediata con la física, hecho que, en ausencia de definiciones matemáticas precisas, le condujo a veces a conclusiones equivocadas. Por otra parte el rasgo más característico de la actividad creadora de Leibniz fue su esfuerzo por generalizar su búsqueda de los métodos más generales de resolución de los problemas del análisis matemático.

El mayor mérito de Leibniz fue la creación de un simbolismo matemático que expresaba lo esencial de la cuestión. Las notaciones por conceptos fundamentales del análisis matemático tales como la diferencial $dx$, la diferencial segunda $d^{2}x$, la integral $\int y\;dx$, y la derivada $d/dx$ fueron propuestas por Leibniz. El hecho de que estas notaciones se utilicen todavía muestra lo acertado de su elección.

Una de las ventajas de un simbolismo bien elegido es que hace las demostraciones y cálculos más cortos y fáciles, y evita también, a veces, conclusiones equivocadas. Leibniz, quien no ignoraba esto, prestó especial atención en todo su trabajo a la elección de notaciones.

La evolución de los conceptos del análisis matemático (derivada, integra, etc.) continuó, naturalmente, después de Newton y Leibniz y continúa todavía en nuestros días; pero hay una etapa en esta evolución que merece ser destacada. Tuvo lugar a comienzos del siglo pasado y está particularmente relacionado con el trabajo de Cauchy.

Cauchy dio una definición formal precisa del concepto de límite y la utilizó como base para sus definiciones de continuidad, derivada, diferencial e integral. Estos conceptos se emplean constantemente en el análisis moderno. La gran importancia de estos resultados reside en el hecho de que gracias a ellos es posible operar de un modo puramente formal y llegar a conclusiones correctas no sólo en la aritmética, el álgebra y la geometría elemental, sino también en esa nueva y extensa rama de la matemática, el análisis matemático.

En cuanto a los resultados prácticos del análisis matemático se puede decir hoy lo siguiente: si los datos originales se toman del mundo real entonces el resultado de los razonamientos matemáticos también se verificará en él.

Y, si estamos completamente seguros de la precisión de los datos originales, no hay necesidad de hacer una comparación práctica de la exactitud de los resultados matemáticos, hasta comprobar la exactitud de los razonamientos formales.

Esta afirmación tiene naturalmente la siguiente limitación. En los razonamientos matemáticos los datos originales que tomamos del mundo real sólo son verdaderos con una cierta precisión. Esto significa que en cada etapa de razonamiento matemático los resultados obtenidos contendrán ciertos errores que, conforme avanza el razonamiento (Por ejemplo de $a=b$ y $b=c$ sigue formalmente que $a=c$. Pero en la práctica esta relación aparece como sigue: del hecho de que $a=b$ con un error igual a $\epsilon$ y $b=c$ con un error también $\epsilon$ se sigue que $a=c$ con un error igual a $2\epsilon$) puede irse acumulando.

Volviendo ahora a la integral definida, consideremos una cuestión de capital importancia. ¿Para qué funciones $f(x)$ definidas sobre el intervalo $[a,b]$ es posible garantizar la existencia de la integral definida $\displaystyle {\int_{a}^{b}{f(x)\;dx,}}$ es decir, un número para el cual la suma $\displaystyle {\begin{array}{c} n \\ \sum \\ 1 \\ \end{array}}\;f(r_{i})\;\triangle x_{i}$ tenga límite cuando $max\;\triangle x_{i}\rightarrow 0$?. Debe tenerse en cuenta que este número será el mismo para todas las subdivisiones del intervalo $[a,b]$ y para cualquier elección de puntos $r_{i}$. Las funciones para las cuales la integral definida es decir, el límite (A) existe se dicen integrables en el intervalo $[a,b]$. Investigaciones realizadas en el último siglo demostraron que todas las funciones continuas son integrables. Pero hay también funciones discontinuas que son integrables y entre ellas figuran por ejemplo las funciones que son acotadas y crecientes (o decrecientes) en el intervalo $[a,b]$.

La función que es igual a cero en los puntos racionales de $[a,b]$ e igual a uno en los puntos irracionales puede servir de ejemplo de función no integrable, puesto que para una subdivisión arbitraria la suma $s_{n}$ será igual a cero o a uno según elijamos los puntos $r_{i}$ entre los números irracionales o racionales.

Señalamos que en muchos casos la fórmula de Newton y Leibniz proporciona la solución al problema de calcular una integral definida. Pero surge entonces el problema de encontrar una primitiva de una función dada, esto es, de encontrar una función que tenga por derivada la función dada.

Procedemos ahora a discutir este punto.

Observemos de paso que el problema de encontrar una primitiva tiene gran importancia entre otras ramas de la matemática particularmente en la solución de ecuaciones diferenciales.

(Aleksandrov, $1979,\; 170,173$)

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