Lic. Elsie Hernández S.

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Propiedades fundamentales de la integral definida

 

  1. Si $k$ es un número real constante, y $f$ es una función integrable en el intervalo cerrado $[a,b]$, entonces:
$\displaystyle {\int_{a}^{b}{k\;f(x)\;dx}=k\;\int_{a}^{b}{f(x)\;dx}}$
Prueba: Al final del capítulo.

 

 

  2. Si $f\;\;\mbox{y}\;\;g$ son dos funciones integrables en $[a,b]$ entonces $f+g$ también es integrable en $[a,b]$ y:
$\displaystyle {\int_{a}^{b}{[f(x)+g(x)]\;dx}=\int_{a}^{b}{f(x)\;dx}+\int_{a}^{b}{g(x)\;dx}}$
Prueba: Al final del capítulo. 

 

 

  3. Si $f\;\;\mbox{y}\;\;g$ son dos funciones integrables en $[a,b]$ (con $a<b$) y además $f(x)\leq g(x)\; \forall x\in [a,b]$ entonces:
$\displaystyle {\int_{a}^{b}{f(x)\;dx}\leq\int_{a}^{b}{g(x)\;dx}}$
Prueba: Al final del capítulo. 

 

Podemos ilustrar geométricamente esta propiedad como sigue:

Sea $f(x)>0\;\;\mbox{y}\;\;g(x)>0$ para $x\in [a,b]$, además $g(x)\geq f(x)$ para cada $x\in [a,b]$, como se muestra en la figura siguiente:

 

Note que el área del trapecio curvilíneo $a\;Q\;R\;b$ es mayor que el trapecio curvilíneo $a\;R\;S\;b$, por lo que:

$\displaystyle {\int_{a}^{b}{f(x)\;dx}\leq\int_{a}^{b}{g(x)\;dx}}$

  4. Si $M\;\;\mbox{y}\;\;m$ son los valores máximo y mínimo respectivamente de la función $f(x)$ en el intervalo $[a,b]$, con $a\leq b$, y además $f$ es integrable en $[a,b]$ entonces:
$m(b-a)\leq\displaystyle {\int_{a}^{b}{f(x)\;dx}\leq M(b-a)}$
Prueba: Al final del capítulo.

 

Puede ilustrarse esta propiedad geométricamente como sigue: sea $f(x)\geq 0$ para $x\in [a,b]\;(a<b)$ y consideremos la siguiente representación gráfica:

 

Note que el área del trapecio curvilíneo $a\;Q\;T\;b$ está comprendida entre las áreas de los rectángulos $a\;P\;U\;b\;\;\mbox{y}\;\;a\;R\;S\;b$. (El área del rectángulo $a\;P\;U\;b$ es $m(b-a)$, la del rectángulo $a\;R\;S\;b$ es $M(b-a)$ y la del trapecio curvilíneo es $\displaystyle {\int_{a}^{b}{f(x)\;dx}}$

Ejemplo:

Consideremos la región limitada por la curva con ecuación $y=x^{2}+1$ y las rectas cuyas ecuaciones son $x=1,\;x=3$; la representación gráfica es la siguiente:

 

Note que el valor mínimo que toma la función es 2 y el máximo es 10. El área del rectángulo $a\;P\;S\;b$ es $4\;(ul)^{2}$, la del rectángulo $a\;Q\;R\;b$ es $20\;(ul)^{2}$ y la del trapecio curvilíneo $a\;P\;R\;b$ es:

$\displaystyle {\int_{1}^{3}{x^{2}\;dx}=\frac{x^{3}}{3}\;\left\vert^{3}_{1}=\frac{27}{3}-\frac{1}{3}=\frac{26}{3}\;(ul)^{2}\right.}$

Observe que $4<\displaystyle {\frac{26}{3}< 20}$ y por tanto $2(3-1)<\displaystyle {\int_{1}^{3}{x^{2}\;dx}\;<10(3-1)}$

 

  5. Teorema del valor medio para integrales
 

Si $f$ es una función continua en el intervalo $[a,b]$, entonces existe en éste un punto $\alpha$ tal que se verifique la siguiente igualdad:
$\displaystyle {\int_{a}^{b}{f(x)\;dx}=(b-a)f(\alpha)}$
Prueba: Al final del capítulo.

 

Podemos dar una interpretación geométrica como sigue: consideremos una función $f$ tal que $f(x)\geq 0$, para todos los valores de $x$ en el intervalo $[a,b]$.

Entonces $\displaystyle {\int_{a}^{b}{f(x)\;dx}}$ es el área de la región limitada por la curva con ecuación $y=f(x)$, el eje $X$ y las rectas con ecuaciones $x=a,\;x=b$

 

La propiedad 5. establece que existe un número $\alpha\;\;\mbox{en}\;\;[a,b]$ tal que el área del rectángulo $a\;Q\;S\;b$, cuya altura es $f(\alpha)$ y que tiene ancho de $(b-a)$ unidades, es igual al área de la región $a\;P\;R\;b$.

El valor de $\alpha$ no es necesariamente único.

Aunque el teorema no establece un método para determinar $\alpha$, sí garantiza que existe un valor de $\alpha$, lo cual se utiliza para demostrar otros teoremas.

Ejemplo:

Determinar, en cada caso, el valor de $\alpha$ tal que:

i. $\displaystyle {\int_{1}^{2}{x^{3}\;dx}=f(\alpha)(2-1)}$
ii. $\displaystyle {\int_{1}^{4}{(x^{2}+4x+5)\;dx}=f(\alpha)(4-1)}$
iii. $\displaystyle {\int_{-2}^{2}{(x^{2}+1)\;dx}=f(\alpha)(2+2)}$     Ejercicio para el estudiante.

 

Solución:

i.
Calculemos primero $\displaystyle {\int_{1}^{2}{x^{3}\;dx}}$

Como $D_{x}\left(\frac{x^{4}}{4}\right)=x^{3}$ entonces $\displaystyle {\int_{1}^{2}{x^{3}\;dx}=\frac{x^{4}}{4}\;\left\vert=\frac{16}{4}-\frac{1}{4}=\frac{15}{4}\right.}$

Luego $\displaystyle {\int_{1}^{2}{x^{3}\;dx}=\frac{15}{4}=f(\alpha)(2-1)}$ de donde:

$f(\alpha)=\displaystyle {\frac{15}{4}}$ (en este caso $f(x)=x^{3}$)

$\alpha^{3}=\displaystyle {\frac{15}{4}}$ y por último $\alpha = \displaystyle {\sqrt[3]{\frac{15}{4}}\simeq 1,55 }$

Gráficamente se tiene:

ii.
Calculemos $\displaystyle {\int_{1}^{4}{(x^{2}+4x+5)\;dx}}$

Como $\displaystyle {D_{x}\left(\frac{x^{3}}{3}+2x^{2}+5x\right)=x^{2}+4x+5}$ entonces:


Luego: $\displaystyle {\int_{1}^{4}{(x^{2}+4x+5)}=66=f(\alpha)(4-1)}$

de donde $f(\alpha)=22$, como $f(x)=x^{2}+4x+5$ entonces:

$\alpha^{2}+4\alpha+5=22$ y los valores de $\alpha$ que satisfacen la ecuación son $\alpha_{1}=-2+\sqrt{21},\;\alpha_{2}=-2-\sqrt{21}$; este último valor se descarta pues no pertenece al intervalo $[1,4]$

Luego el valor de $\alpha$ que satisface el teorema del valor medio para integrales es $\alpha=\sqrt{21}-2$

Gráficamente se tiene:

 

   
  Si $f$ es una función integrable en los intervalos cerrados $[a,b],\;[a,c]$ y $[c,b]$ con $a<c<b$ entonces:
$\displaystyle {\int_{a}^{b}{f(x)\;dx}=\int_{a}^{c}{f(x)\;dx}+\int_{c}^{b}{f(x)\;dx}}$
Asumimos esta propiedad sin demostración.

 

Ejemplos

Sea $[a,b]=[0,3]\;\;\mbox{y}\;\;c=2$


Ahora:

Luego: $\displaystyle {\int_{0}^{3}{x^{2}\;dx}=\int_{0}^{2}{x^{2}\;dx}+\int_{0}^{3}{x^{2}\;dx}}$

Geométricamente podemos interpretar esta propiedad como sigue:

Si $f(x)\geq 0$ para $x\in [a,b]$ entonces la propiedad anterior establece que, el área de la región limitada por la curva con ecuación $y=f(x)$, el eje $X$ y las rectas con ecuaciones y las rectas con ecuación $x=a,\;x=b$, es igual a la suma de las áreas de las regiones desde "a" hasta $c$ y desde $c$ hasta $b$.

 

El resultado anterior es válido para cualquier orden de $a,\;b\;\;\mbox{y}\;\;c$, como se establece a continuación.

 

   
  Sea $f$ una función integrable en un intervalo cerrado que contiene los tres números $a,\;b\;\;\mbox{y}\;\;c$.
Entonces: $\displaystyle {\int_{a}^{b}{f(x)\;dx}=\int_{a}^{c}{f(x)\;dx}+\int_{c}^{b}{f(x)\;dx}}$ sin importar cuál es el orden de $a,\;b\;\;\mbox{y}\;\;c$.
Prueba: Al final del capítulo.

 

Para la prueba de esta propiedad se necesitan las siguientes definiciones:

a. $\displaystyle {\int_{a}^{b}{f(x)\;dx}=-\int_{b}^{a}{f(x)\;dx}}$

Ejemplo:



Luego: $\displaystyle {\int_{1}^{3}{x\;dx}=-\int_{3}^{1}{x\;dx}}$

b. $\displaystyle {\int_{a}^{a}{f(x)\;dx}=0}$

en este caso note que la longitud del trapecio curvilíneo es cero por lo que se área también es igual a cero.

Las propiedades 6 y 7 anteriores serán de gran utilidad al calcular el área de diversas regiones, como estudiaremos en el apartado de aplicaciones de la integral definida.

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