Interpolación Polinomial usando el Matlab
Departamento de Matemática - Facultad de
Ciencias Exactas y Naturales - Universidad Nacional de La Pampa.
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(LP) - Argentina.
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Resumen
Con frecuencia se presenta la oportunidad de ajustar curvas a un conjunto de datos representados por puntos.
Las técnicas desarrolladas para este fin dependen, fundamentalmente, de la naturaleza de los datos involucrados.
El propósito de este trabajo es introducir a los alumnos de Cálculo Numérico, en el uso de la técnica de ajuste de curvas por medio de la interpolación en la solución de problemas de ingeniería, utilizando el paquete MATLAB. Además de que se espera que los alumnos asimilen y dominen los conceptos específicos impartidos referidos a la interpolación, se pretende que comprueben lo indispensable de la utilización de una computadora para resolver este tipo de problemas. También se espera, a partir de las distintas actividades propuestas a realizar por los alumnos, que observen y reconozcan cuándo la interpolación polinomial resulta apropiada arribando así, a resultados satisfactorios.
Es decir que en esta primer instancia, se espera que los alumnos hayan aprendido a valorar la confiabilidad de las respuestas y ser capaces de escoger el mejor método (o métodos) para cualquier problema que deben afrontar frecuentemente en la práctica de la ingeniería o en diferentes problemas científicos o tecnológicos.
Además, como resultado del análisis y comprensión de las actividades presentadas en este trabajo, se pretende introducir a los alumnos en el uso de la técnica de ajuste de curvas por medio de la regresión, a fin de que comprendan la diferencia entre interpolación y regresión, y que el confundirlos puede llevarlos a resultados erróneos.
Durante el desarrollo del curso "Cálculo Numérico" describimos los métodos numéricos aplicados, a alumnos de tercer año de las carreras: Ingeniería en Electrónica, Ingeniería Civil, Licenciatura en Física y Profesorado en Matemática.
Entre los objetivos propuestos en este curso podemos citar los siguientes:
1. que sea fácilmente comprensible para los alumnos con un conocimiento mínimo de matemáticas;
2. capacitar a los alumnos para que practiquen los métodos numéricos en una computadora;
3. elaborar programas simples que puedan usarse de manera sencilla en aplicaciones científicas;
4. proporcionar software que resulte fácil de comprender.
La importancia de los métodos numéricos ha aumentado de forma drástica en la enseñanza de la ingeniería y la ciencia, lo cual refleja el uso actual y sin precedentes de las computadoras.
El desarrollo de un programa siempre es importante en el aprendizaje de métodos numéricos. La presentación de resultados calculados con gráficos utilizando algún software, por ejemplo MATLAB, motiva a los alumnos para aprender métodos matemáticos y numéricos que de otra forma podrían resultar tediosos.
Nuestra actitud previa era que cualquier lenguaje de programación que los alumnos supieran podría resultar adecuado. Sin embargo, teniendo en cuenta que muchos de los alumnos que se matriculan en este curso no han aprendido o no tienen la práctica suficiente de computación, que el paquete MATLAB se ha convertido en una herramienta para casi todos los campos de la ingeniería y de la matemática aplicada y que sus versiones nuevas han mejorado los aspectos de programación, hemos pensado que los alumnos emplearán su tiempo de manera más fácil y productiva si utilizan este paquete.
Como profesores responsables del dictado de la asignatura "Cálculo Numérico", hemos implementado en la misma el uso del paquete MATLAB, versión 5.1, lo cual nos ha facilitado el proceso de enseñanza - aprendizaje de los métodos numéricos desarrollados a lo largo de todo el curso.
DESARROLLO
A lo largo de la profesión de un ingeniero, un físico, un matemático, frecuentemente se presentan ocasiones en las que deben ajustar curvas a un conjunto de datos representados por puntos. Las técnicas desarrolladas para este fin pueden dividirse en dos categorías generales: interpolación y regresión. Consideraremos aquí la primera de estas dos categorías. Más aún, como la teoría de aproximación polinomial es más adecuada para un primer curso de cálculo numérico, será la que consideraremos principalmente en este trabajo.
Aunque existen formas alternativas de expresar los polinomios de interpolación, nos concentraremos fundamentalmente en las formas de interpolación de Newton con diferencias divididas, interpolación hacia delante y hacia atrás de Newton e interpolación de Lagrange.
Previamente, hemos desarrollado la teoría básica para investigar todo lo referido a las distintas formas de interpolación antes citadas. Realizamos, para cada método, un análisis del error que resulte apropiado para el mismo. Damos una deducción matemática de aquellos métodos que utilizan resultados elementales, que deben servir para afianzar la comprensión que cada alumno tiene de las matemáticas estudiadas hasta el momento. Presentamos una amplia variedad de problemas que ayudarán a mejorar las habilidades de los alumnos, tanto en el conocimiento de la teoría como en la práctica del ajuste de curvas por medio de la interpolación polinomial. Con la misma finalidad, presentamos también algunas actividades referidas a resolver problemas reales de ingeniería y de matemática aplicada, en general. Las tareas de computación con el paquete MATLAB que proponemos, sirven para que los alumnos tengan la oportunidad de practicar sus habilidades en la computación científica y además, para que los ayude a realizar la componente numérica de los ejercicios que deban resolver en el laboratorio.
Los siguientes casos de estudios son una muestra de aquellos que en forma rutinaria se encuentran en los estudios superiores. Más aún, son problemas representativos de aquellos que se encontrarán en la vida profesional.
Los cálculos hechos en una computadora deberán ser presentados por los alumnos mediante tablas y gráficos, de manera que les permita visualizar e interpretar las aproximaciones numéricas obtenidas.
En la Actividad 1 se utilizan distintos métodos de interpolación polinomial (Newton y Lagrange). Se pretende mostrar que hay ocasiones en las que resulta útil construir varios polinomios aproximantes y después, elegir el más adecuado a nuestras necesidades. Esta capacidad es muy útil cuando no se conoce a priori el orden del polinomio. Agregando nuevos términos secuencialmente, puede determinarse cuándo al agregar un término de orden superior no se mejora significativamente la aproximación o en ciertos casos se disminuye.
Si usamos los polinomios de interpolación de Lagrange, uno de los inconvenientes es que no hay relación entre la construcción del polinomio de orden n y la del polinomio de orden n-1; cada polinomio debe construirse individualmente y el trabajo necesario para construir polinomios de grado elevado requiere hacer muchas operaciones. En resumen, se pretende mostrar que para los casos en donde el orden de los polinomios se desconozca, el método de Newton tiene ventajas debido a que profundiza en el comportamiento de las diferentes fórmulas de orden superior. De esta forma desde el punto de vista de cálculo, a menudo, se prefiere el método de Newton. Cuando se va a llevar a cabo sólo una interpolación, ambos métodos, el de Newton y el de Lagrange, requieren de un esfuerzo de cálculo similar. Sin embargo, la versión de Lagrange es un poco más fácil de programar. También existen casos en donde la forma de Newton es más susceptible a los errores de redondeo. Debido a esto y a que no requiere calcular y almacenar diferencias divididas, la fórmula de Lagrange se usa, a menudo, cuando el orden del polinomio se conoce a priori.
En la Actividad 2 se emplea interpolación polinomial de Newton para determinar la relación esfuerzo-deformación en problemas de estructuras en ingeniería civil. Esta actividad permite, además, mostrar que en determinadas situaciones es más apropiado el ajuste de curvas por medio de la regresión.
En la Actividad 3 se muestra cómo se usa un simple polinomio de interpolación hacia adelante de Newton, para aproximar una función más complicada en ingeniería eléctrica. Además, esa actividad permite mostrar la aplicación del ajuste de curvas por medio de los polinomios de interpolación en otros métodos numéricos tal como, por ejemplo, la integración numérica.
a) Calcúlese el logaritmo natural de 2 usando interpolación lineal. Primero, llévese a cabo los cálculos interpolando entre ln 1 = 0 y ln 6 = 1.7917595. Después repítase el procedimiento, pero usando un intervalo más pequeño desde ln 1 a ln 4 (1.3862944 ). Nótese que el valor real de ln 2 = 0.69314718. En cada caso, calcúlese además el error verdadero. Represéntense gráficamente ambas situaciones, junto con la función verdadera.
b) Ajústese el polinomio de segundo orden a los tres puntos usados en el apartado a). Úsese el polinomio para evaluar ln 2. Calcúlese el error verdadero. Represéntese gráficamente la situación, incluyendo la interpolación lineal de x = 1 a x = 4.
c) Agregando un cuarto punto (x3 = 5; f(x3) = 1.6094379), calcúlese el ln 2 con un polinomio de interpolación de Newton con diferencias divididas de tercer orden. Calcúlese el error verdadero. Represéntese gráficamente la situación.
d) Estímese el error del polinomio de interpolación de segundo orden del apartado b). Para obtener esta estimación, úsense los datos adicionales dados en c). Luego, determínese la cota del error del polinomio de interpolación de tercer orden obtenido en el apartado c).
e) Úsese el polinomio de interpolación de Lagrange de orden 1, 2 y 3 para evaluar ln 2 en base a los datos dados en los apartados a) y c). Calcúlese, en cada caso, el error verdadero. Luego, determínese la cota del error del polinomio de interpolación de tercer orden.
f) Escríbanse las conclusiones a las que se arribaron.
