Uno de los objetivos principales de la teoría de ecuaciones es la búsqueda de ceros de un polinomio. Existen varios métodos relacionados con este tema, algunos tratan sobre la búsqueda de las cotas de los ceros (los valores entre los cuales se encuentran todos los ceros), otros sobre la aproximación de los ceros y hay otros, como el teorema de Sturm, que sirven para saber cuántos ceros tiene la función entre dos valores de " x'' y así poder aislarlos.
El conocimiento de estos teoremas vuelven más sencilla la búsqueda de los ceros del polinomio y permiten realizar, por ejemplo, algoritmos para hacer programas de computación que realicen todo el trabajo por nosotros.
Para la aproximación de los ceros existen varios métodos, algunos de ellos son la bisección, la bisección acelerada o el método de Newton, el problema que se presenta es que se deben tener valores iniciales entre los cuales se esté seguro que se encuentra un cero, estos valores iniciales son esenciales para tener éxito en el proceso y encontrarlos no es nada sencillo, para lograrlo es que se utiliza el teorema de Sturm.
Por ejemplo, si se tiene la seguridad que un polinomio tiene un cero entre 0 y 1, se puede aplicar alguno de los tres métodos con esos valores y así encontrar ese cero; pero cómo saber que el polinomio tiene un cero entre estos valores? y cómo se puede estar seguro que es el único cero en ese intervalo?, ya que si hubieran más ceros podrían haber problemas y se tendrían que utilizar límites más cercanos, como 0 y 0.5, hasta tener un solo cero aislado.
En realidad hay varios métodos para lograr aislar los ceros, una primer forma sería usar la gráfica del polinomio, pero para ésto se debe tener una buena gráfica que permita observar todos los ceros y ésta puede cambiar para cada polinomio, además que no serviría para realizar un programa
computacional, la computadora no puede ver donde están los ceros en una gráfica.
El método basado en un corolario del Teorema de Rolle se vuelve poco práctico cuando el grado del polinomio es mayor que 3 y aunque la regla de Descartes es muy sencilla, es muy común que falle al calcular el número total de ceros reales (tanto el corolario como el teorema aparecen en el anexo).
Teniendo esto en cuenta, el método más efectivo para aislar los ceros es el Teorema de Sturm, veamos este método mas a fondo, lo primero que se debe ver se el sistema de polinomios de Sturm (ésto se explicará en el siguiente apartado), éste sistema lo necesitamos para hacer evaluaciones en él ya que el número de cambios de signo entre las distintas evaluaciones nos dará la cantidad de ceros entre los valores (en las siguientes secciónes se trata este tema y se dan algunos ejemplos).
Para hacer más sencilla la búsqueda de los ceros, también hay una sección que trata sobre el cálculo de las cotas, estos valores permiten saber entre que números se encuentran todas las raíces, esto es muy importante porque se sabría exactamente donde buscar.
Al final se muestran algunas ideas para poder hacer un programa computacional, no se muestra el código paso a paso sino que se explican las funciones necesarias para hacerlo, lo que recibe cada función, lo que devuelve y una explicación general de cómo se
hacen.
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