El Teorema de Sturm

TEOREMA 1 (Teorema de Sturm)
Sea f (x) un polinomio de coeficientes reales tal que f (x) = 0 no tiene raíces múltiples. Construya el sistema de Sturm para f (x). Sean a y b números reales, a < b y ninguno de los dos es raíz de f (x) = 0. Entonces la cantidad de raíces reales de f (x) = 0 entre a y b es la diferencia entre el número de variaciones de signo del sistema de Sturm

f (x), f₁(x), f₂(x),..., f_{k - 1}(x), f_k(x)

para x = b y el número de variaciones del sistema para x = a. Los términos que den cero deben ser descartados antes de contar los cambios de signo.

Observe que el teorema pide que la ecuación no tenga raíces múltiples, en este escrito no tomaremos muy en cuenta esta limitación, primero porque la probabilidad que una persona evalúe un polinomio así es bajo, además que el teorema funciona bien para muchos polinomios con raíces múltiples, es decir, son muy pocos los polinomios de raíces múltiples que fallan.
Ahora ilustremos el teorema con un ejemplo.

EJEMPLO 3 (Teorema de Sturm)
Aisle los ceros de f (x) = x³ - 9x² + 24x - 36.

Solución

Ya conocemos el sistema de Sturm para este polinomio (se calculó en la sección anterior)
f (x) = x³ - 9x² + 24x - 36
f₁(x) = 3x² - 18x + 24
f₂(x) = 18x + 108
f₃(x) = - 77760

Lo primero para aislar los ceros es revisar cuántos hay en total, así que se evalúa el sistema en - $\infty$ y + $\infty$ , también evaluamos en x = 0 para verificar cuántos ceros positivos y cuántos negativos hay, veamos

Signos	- $\infty$	0	+ $\infty$
f (x)	-	-	+
f₁(x)	+	+	+
f₂(x)	-	+	+
f₃(x)	-	-	-
Cambios	2	2	1

Como en - $\infty$ hay 2 cambios de signo y en + $\infty$ solo hay uno entonces de - $\infty$ a + $\infty$ hay 2 - 1 = 1 ceros, es decir, el polinomio solo tiene un cero en I R.
Ahora, de - $\infty$ a 0 no hay ceros pues ambos tienen igual número de cambios de signo, así que el cero se encuentra de 0 a + $\infty$ pues al realizar la resta de cambios de signo se obtiene 2 - 1 = 1. Ahora podemos ir evaluando de uno en uno empezando desde 0 hasta encontrar en qué intervalo se encuentra.

Signos	1	2	3	4	5	6
f (x)	-	-	-	-	-	0
f₁(x)	+	0	-	0	+	+
f₂(x)	+	+	+	+	+	+
f₃(x)	-	-	-	-	-	-
Cambios	2	2	2	2	2	1

De aquí se obtiene que el cero está entre 5 y 6. De hecho, en este caso se encontró directamente que f (6) = 0, es decir, el único cero que tiene el polinomio es x = 6. Si el cero no se hubiera encontrado directamente, se hubiera tenido que utilizar algún método de aproximación en el intervalo ]5, 6[.
Ahora, si el cero se encuentra en x = 100 tenemos que evaluar 100 veces para encontrarlo?, no hay alguna forma para tener un límite superior, algún valor del que estemos seguros que el cero se encuentra antes?

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