Métodos para aproximar los ceros de un polinomio

Métodos para aproximar los ceros de un polinomio

Aunque existen muchos métodos para aproximar los ceros de un polinomio, aquí solo vamos a mencionar tres muy simples y conocidos: el método de la bisección, el método de bisección acelerada y el método de Newton. Si se quiere investigar más sobre estos métodos o buscar más se puede investigar en algún libro de Métodos Numéricos.

Para poder utilizar este método se necesitan tener dos valores iniciales a y b tales que f (a) y f (b) tienen signo contrario. Una vez que se cumple esto, entonces tome c= $\displaystyle {\frac{a+b}{2}}$ y evalúe f (c), si f (c) = 0 entonces ya se encontró que el cero es x = c, sino si f (a) y f (c) tienen signo contrario, entonces tome a = a y b = c y repita el proceso, sino tome a = c y b = b. El proceso se repite hasta que f (c) sea menor que un valor pequeño predeterminado, puede ser f (c) < 0.00001.

Este método es similar al anterior, se necesitan dos valores iniciales a y b tales que f (a) y f (b) tengan diferente signo. La diferencia está en que ahora se toma c=a- $\displaystyle {\frac{f(a)(b-a)}{f(b)-f(a)}}$ . Si f (c) = 0 entonces ya se encontró que el cero es x = c, sino si f (a) y f (c) tienen signo contrario, entonces tome a = a y b = c y repita el proceso, sino tome a = c y b = b. El proceso se termina cuando f (c) es menor que un valor pequeño predeterminado, talvez f (c) = 0.00001.

Para este método solo se necesita un valor inicial a, el siguiente valor que se toma es c=a- $\displaystyle {\frac{f(a)}{f'(a)}}$ . Si f (c) = 0 entonces ya encontramos el cero, es x = c, sino se continúa el proceso hasta que f (c) sea menor que un valor pequeño predeterminado, puede ser f (c) < 0.00001

El problema que presentan estos métodos es que los valores iniciales deben ser muy buenos, el primer método es muy lento, el segundo es un poco más rápido y el tercero es el más sencillo y puede ser el más rápido, sin embargo, puede pasar que se pierda y nunca encuentre el cero. Si se realizan en un programa de computadora es conveniente que se ponga un número máximo de iteraciones por si nunca se llega a un resultado satisfactorio.

Corolario del Teorema de Rolle y la Regla de Descartes

TEOREMA 4 Corolario del Teorema de Rolle
Entre dos raíces reales consecutivas a y b de f (x) = 0, hay un número impar de raíces reales de f'(x) = 0, una raíz de multiplicidad m es contada m veces.

TEOREMA 5 La Regla de Descartes
El número de raíces reales positivas de una ecuacón real es igual al número v de sus variaciones de signo o es menor que v por un número entero positivo par. Una raíz de multiplicidad m se cuentan m veces.

Dickson, L. New First Course in the Theory of Equations. Jhon Wiley and Sons, New York, 1962.

Apéndice