Introducción

En los Elementos (Libro IV, Proposición 5) de Euclides ya figura la concurrencia de las mediatrices de los lados de un triángulo en el circuncentro. Es en obras de Arquímedes donde aparece la concurrencia de medianas (El equilibrio de los planos, Proposición 13) y alturas de un triángulo (Libro de los Lemas, Proposición 5) en baricentro y ortocentro respectivamente. Durante 2000 años estos puntos tuvieron una existencia independiente uno del otro. Habría que esperar a Leonard Euler (1707 + 76 = 1783) para reparar en que dichos puntos estaban alineados y por si fuera poco que la distancia del baricentro al ortocentro era el doble de la distancia del circuncentro al baricentro.

El presente artículo busca responder a la siguiente interrogante: Cuál será la situación de estos puntos en un cuadrilátero?.

Para ello tendremos que generalizar la idea de baricentro, circuncentro y ortocentro y buscar definirlos en un cuadrilátero.

Empecemos por señalar que sólo tendrá sentido hablar de circuncentro de un cuadrilátero en el caso en que este sea inscriptible.

Recta de Euler en triángulos

Proposición 1
El circuncentro , baricentro y ortocentro de un triángulo están alineados y verifican la relación $m \overline{GH} \, = \,2.m \overline{OG}$ .

**Figura 1:**

**Figura 2:**

Demostración

Aquí E el simétrico de C respecto de O, $\overline{AH}$ es perpendicular a $\overline{BC}$ por ser altura de $\Delta ABC$ , $\overline{EB}$ es perpendicular a $\overline{BC}$ por ser $\overline{EC}$ diámetro de $\bigodot ABC$ , por lo que $\overline{AH}$ es paralela a $\overline{EB}$ ; del mismo modo $\overline{BH}$ es paralela a $\overline{EA}$ . El cuadrilátero $\square AEBH$ es paralelogramo por lo que sus diagonales $\overline{AB}$ y $\overline{EH}$ se cortan en su punto medio por lo que $\overline{CM}$ es mediana de $\Delta ABC$ y además mediana de $\Delta CEH$ . Como es punto medio de $\overline{CE}$ el segmento $\overline{OH}$ es mediana de $\Delta CEH$ por lo que el punto de intersección de $\overline{OH}$ y $\overline{CM}$ es baricentro de $\Delta CEH$ de donde usando la propiedad de las medianas de un triángulo que demostraremos a continuación podemos afirmar que , , están alineados y $m \overline{GH}\,=\,2 \cdot m \overline{OG}$ .

Baricentro de un cuadrilátero

Entendiendo como baricentro de un segmento a su punto medio, definimos las medianas de un triángulo como los segmentos que unen cada vértice del triángulo con el baricentro del lado opuesto, se cumple la siguiente proposición.

Proposición 2

Las medianas de un triángulo concurren en un punto que divide a cada mediana en dos segmentos uno doble del otro.

Demostración

Las medianas $\overline{AN}$ y $\overline{CM}$ se cortan en , y los puntos medios de $\overline{CG}\,$ y $\,\overline{AG}$ respectivamente.

**Figura 3:**

$\overline{MN}$ y $\overline{QR}$ son paralelos e iguales entre sí por ser paralelos a $\overline{AC}$ e iguales a su mitad por lo que el cuadrilátero $\square MNQR$ es paralelogramo, de donde es punto medio de sus diagonales $\overline{QM}$ y $\overline{RN}$ .

En resumen: $\overline{AR}\,=\,\overline{RG}\,=\,\overline{GN}\,$ y $\,\overline{CQ}\,=\,\overline{QG}\,=\,\overline{GM}$ . (1)

**Figura 4:**

Procediendo de forma análoga: considerando que las medianas $\overline{AN}$ y $\overline{BP}$ se cortan en , llamando y a los respectivos puntos medios de $\overline{AG'}\,$ y $\overline{BG'}$ , como $\overline{NP}\,$ y $\,\overline{R'S}$ son paralelos a $\overline{AB}$ e iguales a su mitad el cuadrilátero $\square NPR'S$ es paralelogramo de donde es punto medio de sus diagonales y $\overline{R'N}$ .

En resumen: $\overline{AR'}\,=\,\overline{R'G'}\,=\,\overline{G'N}$ y $\,\overline{BS}=\overline{SG'}=\overline{G'P}$ .(2)

Por lo visto en se cumple que $\overline{AR}\,=\,\overline{RG}\,=\,\overline{GN}$ y de lo visto en se cumple que $\overline{AR'}\,=\,\overline{R'G'}\,=\,\overline{G'N}$ por lo que debe ser $G'\,=\, G$ .

Definición [Baricentro].

Llamaremos baricentro de un triángulo al punto de intersección de sus medianas.

Definición [Medianas de un cuadrilátero].

Definimos las medianas de un cuadrilátero como los segmentos que unen cada vértice con los baricentros de los triángulos que forman los tres vértices restantes.

Proposición 3

Se cumple la siguiente proposición:

Las medianas de un cuadrilátero concurren en un punto que divide a cada mediana en dos segmentos uno triple del otro.

Demostración

y los baricentros de $\Delta ABC$ y $\Delta BCD$ respectivamente. $\overline{AT}\,$ y $\,\overline{DS}$ se cortan en .

Por lo demostrado acerca de las medianas de un triángulo se cumple que $\displaystyle {\frac{m\overline{NA}}{m\overline{NS}}}=\displaystyle {\frac{m\overline{ND}}{m\overline{NT}}}=3\,\,$ de donde por el recíproco de Tales podemos afirmar que $\overline{TS}$ y $\overline{DA}$ son paralelas y por tanto que los triángulos $\Delta GTS$ y $\Delta GAD$ son semejantes, se cumple así que $\displaystyle {\frac{m\overline{GA}}{m\overline{GT}}}= \displaystyle {\frac{m\o... ...D}}{m\overline{GS}}}= \displaystyle {\frac{m\overline{AD}}{m\overline{TS}}}\,\,$ y como además $\displaystyle {\frac{m\overline{AD}}{m\overline{TS}}}= \displaystyle {\frac{m\overline{ND}}{m\overline{NT}}}=3\,\,$ podemos concluir que $m \overline{GA}\,=\,3 \cdot m \overline{GT}\,$ y $m \overline{GD}\,=\,3\cdot m \overline{GS}\,$ (1)

Razonado de manera análoga, si las medianas $\overline{AT}$ y $\overline{BU}$ se cortan en se cumple que

$m \overline{G'A}\,=\,3\cdot m \overline{G'T}\,$ y $\,m \overline{G'B}\,=\,3\cdot m \overline{G'U}$ . (2)

A partir de lo visto en el punto pertenece al segmento $\overline{AT}$ y cumple que $m \overline{GA}\,=\,3\cdot m \overline{GT}$ y por lo visto en el punto pertenece al segmento $\overline{AT}$ también cumple que $m \overline{G'A}\,=\,3\cdot m \overline{G'T}$ , de donde podemos concluir que .

**Figura 5:**

**Figura 6:**

Definición [Baricentro de un cuadrilátero].

Llamaremos baricentro de un cuadrilátero al punto de intersección de sus medianas.

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