Recta de Euler en cuadriláteros

  

Mario Dalcín

   
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Ortocentro de un cuadrilátero

Proposición 4

Sea $\Delta ABC$ triángulo de circuncentro $O$. Sean $A',\,\, B',\,\, C'$ simétricos de $O$ respecto de $\overline{BC}, \,\,\overline{CA}, \,\,y \,\,\overline{AB}$ respectivamente, entonces las circunferencias $\bigodot \,(OA, A'),\,\,\bigodot(OA, B'),\,\,\bigodot(OA, C')$ pasan por un mismo punto H.

Demostración

Figura 7:

El cuadrilátero $\square OAB'C$ es rombo al igual que el cuadrilátero $\square OCA'B$ por lo que el cuadrilátero $\square AB'A'B$ es paralelogramo, de donde $m \overline{AB}\,=\,m \overline{B'A'}$.

Las circunferencias $\bigodot(OA, A')\,\,$ y $\,\,\bigodot(OA, B')$ se cortan en $H$.

Los triángulos $\Delta AOB$ y $\Delta A'HB'$ son congruentes por tener los tres lados congruentes y como además por ser $\square ABA'B'$ paralelogramo $\overline{AB}$ es paralela a $\overline{B'A'}$ por lo que $\square OAHA'$ es paralelogramo. (1)

Procediendo de forma análoga, el cuadrilátero $\square OAC'B$ es rombo al igual que el cuadrilátero $\square OBA'C$ por lo que $\square AC'A'C$ es paralelogramo, de donde $m \overline{AC}\,=\,m\overline{C'A'}$.

Las circunferencias $\bigodot(OA, A')\,$ y $\,\bigodot(OA, C')$ se cortan en $H'$.

Figura 8:

Los triángulos $\Delta AOC$ y $\Delta A'H'C'$ son congruentes por tener los tres lados congruentes y como además por ser $\square AC'A'C$ paralelogramo es $\overline{AC}$ paralela a $\overline{C'A'}$ por lo que $\square AOH'A'$ es paralelogramo. (2)

En $(1)$ y $(2)$ vimos que $\square OAHA'$ y $ \square OAH'A'$ son paralelogramos que coinciden en tres de sus vértices por lo que debe ser $H' = H$.

Definición [Ortocentro de un triángulo.]

Definimos como ortocentro del triángulo $\Delta ABC$ al punto H determinado en la propiedad anterior.

Figura 9:

Coincide el ortocentro del triángulo $\Delta $ABC definido de esta manera con el punto de intersección de sus alturas?

Como $\overline{OA'}$ es perpendicular a $\overline{BC}$, al ser $\square AOA'H$ paralelogramo, se cumple que $\overline{AH}$ también es perpendicular a $\overline{BC}$. De la misma forma $\overline{BH}$ y $\overline{CH}$ son perpendiculares a $\overline{CA}$ y $\overline{AB}$ respectivamente. $H$ es entonces punto de intersección de las alturas de $\Delta ABC$.

Proposición 5

Sea $\Delta ABC$ un triángulo cualquiera de ortocentro $H$ y circuncentro $O$. Siendo $M$ el punto medio de $\overline{AB}$ se cumple que $\overline{CH}$ es paralelo a $\overline{OM}$ y $m \overline{CH}\,=\,2\cdot m \overline{OM}$.

Figura 10:

Demostración

Si $\overline{CE}$ es diámetro de $\bigodot ABC$ se cumple: $\overline{AH}$ y $\overline{BE}$ son paralelas por ser ambas perpendiculares a $\overline{CE}$, al igual que $\overline{BH}$ y $\overline{EA}$ son paralelas por ser ambas perpendiculares a $\overline{CA}$, entonces $\square BEAH$ es paralelogramo y como $M$ es punto medio de $\overline{AB}$ también $M$ es punto medio de $\overline{EH}$ y como $O$ es punto medio de $\overline{CE}$ se cumple que $\overline{OM}$ es paralelo a $\overline{CH}$ y $2\cdot m \overline{OM}$.

Proposición 6

Sea $\square ABCD$ un cuadrilátero inscrito en $\bigodot(OA, O)$, $A',\, B',\, C',\, D'$ ortocentros de $\Delta BCD$, $\Delta ACD$, $\Delta ABD$, $\Delta ABC$ respectivamente. Las circunferencias $\bigodot (OA, A')$, $\bigodot (OA, B')$, $\bigodot (OA, C')$, $\bigodot (OA, D')$ pasan por un mismo punto $H$.

Figura 11:

Demostración

Sean $D'$ y $A'$ ortocentros de $\Delta ABC$ y $\Delta BCD$ respectivamente. Si $N$ es el punto medio de $\overline{BC}$, por lo demostrado previamente $\overline{AD'}$ es paralela a $\overline{ON}$ y $m\overline{AD'}\,=\,2\cdot m\overline{ON}$, y también $\overline{DA'}$ es paralela a $\overline{ON}$ y $m \overline{DA'}\,=\,2\cdot m \overline{ON}$ por lo que $\overline{AD'}$ es paralela a $\overline{DA'}$ y $m \overline{AD'}\,=\,m \overline{DA'}$ de donde $\square AD'A'D$ es paralelogramo y por lo tanto $m \overline{AD}\,=\,\overline{DA'}$.

Las circunferencias $\bigodot(OA, D')\,\,$ y $\,\,\bigodot(OA, A')$ se cortan en $H$ y otro punto.

Los triángulos $\Delta AOD\,\,$ y $\,\,\Delta A'HD'$ son iguales por tener los tres lados iguales, entonces $\square OD'HD$ es paralelogramo. $(1)$

Figura 12:

Procediendo de forma análoga, $D'$ y $C'$ ortocentros de $\Delta ABC$ y $\Delta ABD$ respectivamente.

Si $M$ es el punto medio de $\overline{AB}$, por lo demostrado previamente $\overline{DC'}$ es paralela a $\overline{OM}$ y $m\overline{DC'}=2\cdot m\overline{OM}$, y también $\overline{CD'}$ es paralela a $\overline{OM}$ y $m\overline{CD'}=2\cdot m\overline{OM}$ por lo que $\overline{DC'}$ es paralela a $\overline{CD'}$ y $m\overline{DC'}=m\overline{CD'}$ de donde $\square DC'D'C$ es paralelogramo y por lo tanto $m\overline{CD}=m\overline{C'D'}$.

Las circunferencias $\bigodot(OA, D')$ y $\bigodot(OA, C')$ se cortan en $H'$.

Los triángulos $\Delta COD$ y $\Delta C'H'D'$ son iguales, entonces $\square OD'H'D$ es paralelogramo. $(2)$

En resumen: por lo demostrado en $(1)$ y $(2)$ los cuadriláteros $\square OD'HD$ y $\square OD'H'D$ son paralelogramos que coinciden en tres de sus vértices, por lo tanto debe ser $H = H'$.

Razonando de la misma manera podemos demostrar que $\bigodot (OA, B')$ siendo $B'$ ortocentro de $\Delta ACD$, pasa por $H$.

Figura 13:

Definición [Ortocentro de un cuadrilátero.]

Definimos como ortocentro del cuadrilátero inscriptible $\square ABCD$ al punto $H$ determinado en la propiedad anterior.

Los cuadriláteros $\square ABCD$ y $\square A'B'C'D'$, al igual que $O$ y $H$ sus circuncentros respectivos se corresponden en una simetría central de centro $P$, punto de intersección de $\overline{AA'},\,\,\overline{BB'},\,\,\overline{CC'},\,\,\overline{DD'}$.

De los visto hasta el momento $\square ABA'B'$, $\square BCB'C'$, $\square CDC'D'$, $\square DAD'A'$ son paralelogramos por lo que los segmentos $\overline{AA'},\,\,\overline{BB'},\,\,\overline{CC'},\,\,\overline{DD'}$ tienen punto medio común $P$.

Los cuadriláteros $\square ABCD$ y $\square A'B'C'D'$ se corresponden entonces en una simetría central de centro $P$.

También se corresponden en la misma simetría central los puntos $O$ y $H$, circuncentros de $\square ABCD$ y $\square A'B'C'D'$ respectivamente, por lo que $P$ es punto medio de $\overline{OH}$.

Figura 14:

 


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