Baricentro de un cuadrilátero

Proposición 7

El circuncentro , baricentro y ortocentro de un cuadrilátero inscriptible están alineados y verifican la relación $m\overline{GH}=3\cdot m\overline{OG}$ .

Demostración

circuncentro de $\Delta ABC\,\,\,(1)$

ortocentro de $\Delta ABC\,\,\,(2)$

$G_{D}$ baricentro de $\Delta ABC\,\,\,(3)$

Entonces de $\,\,\,(1),\,\,\,(2),\,\,\,(3),$ se concluye que

$O, G_D, D'\mbox{ alineados }\,\,\,(4)$

$m\overline{G_D'}=2\cdot m\overline{OG_D}\,\,\,(5)$

$C_{O}(D) = E\,\,$ entonces punto medio de $\overline{DE}$ entonces $\overline{D'O}$ mediana de $\Delta DED'\,\,\,(6)$

**Figura 15:**

**Figura 16:**

Entonces de $\,\,\,(4),\,\,\,(5),\,\,\,(6),$ se concluye que

$G_{D}$ baricentro de $\Delta DED' \,\,\,(7)$

$M_{D}$ punto medio de $\overline{D'E}\,\,\,(8)$

Entonces de $\,\,\,(7),\,\,\,(8)$ se concluye que

$m\overline{DG_D}=2 \cdot m\overline{G_D M_D}\,\,\,(9)$

$G_{D}$ baricentro de $\Delta ABC\,\,\,(10)$

Si baricentro de $\square ABCD\,\,\mbox{ (baricentro de un cuadril\'{a}tero)} \mbox{ entonces }\,\, D,\, G,\, G_{D}\mbox{ alineados} \,\,\,(11)$

$m\overline{DG}=3\cdot m\overline{GG_D}\,\,\,(12)$

Entonces de $\,\,\,(9),\,\,\,(10),\,\,\,(11),\,\,\,(12)$ se concluye que

punto medio de $\overline{DM_D}\,\,\,(13)$

punto medio de $\overline{DE}\,\,\,(14)$

Si $\overline{OH}\cap\overline{DD'}=\{P\}\mbox{entonces} P\,\,$ punto medio de $\overline{DD'}$ (por lo visto en 6) $\,\,\,(15)$

$M_{D}$ punto medio de $\overline{D'E}\,\,\,(16)$

Entonces de $\,\,\,(13),\,\,\,(14),\,\,\,(15),\,\,\,(16)$ se concluye que

punto medio de $\overline{OP}\,\,\,(17)$

punto medio de $\overline{OH}$ (por lo visto en 6) $\,\,\,(18)$

Entonces de $\,\,\,(17),\,\,\,(18),$ se concluye que

$% latex2html id marker 1205 $\therefore\, O,\, G,\, H$$ alineados y $m\overline{GH}=3\cdot m\overline{OG}$

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