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Notes

¹ Dr. Mary Winton Newson translated this address into English with the author's permission for Bulletin of the American Mathematical Society 8 (1902), 437-479. A reprint of appears in Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems, edited by Felix Brouder, American Mathematical Society, 1976.

The original address "Mathematische Probleme" appeared in Göttinger Nachrichten, 1900, pp. 253-297, and in Archiv der Mathematik und Physik, (3) 1 (1901), 44-63 and 213-237. [A fuller title of the journal Göttinger Nachrichten is Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wiss. zu Göttingen.]

The French translation by M. L. Laugel "Sur les problèmes futurs des mathématiques" appeared in Compte Rendu du Deuxième Congrès International des Mathématiciens, pp. 58-114, Gauthier-Villars, Paris, 1902.

This HTML version of Newson's translation was prepared for the web by D Joyce with only minor modifications, mainly, more complete references.

² H. Minkowski: Die Geometrie der Zahlen. Teubner, Leipzig, 1896.

³ See Helmholtz, Ueber die Wechselwirkung der Natnrkräefte und die darauf bezüglichen neuesten Ermittelungen der Physik. Vortrag gehalten Köigsberg, 1854.

⁴ P. Gordon: "Über homogene Functionen," Jahresbericht der Deutchen Mathematiker-Vereinigung 8 (1900), p. 180.

⁵ Gauss Werke, vol. 8, pp. 241 and 244.

⁶ Cf., beside earlier literature, Hilbert, Grundlagen der Geometrie, Teubner, Leipzig, 1899, ch. 4. [Translated as Foundations of Geometry by Townsend, Open Court, Chicago, 1902.]

⁷ Since this was written M. Dehn has succeeded in proving this impossibility. See his note: "Ueber raumgleishe Polyeder," in Gött. Nachrichten, 1900, pp. 345-354, and a paper [then] soon to appear in Math. Annalen ["Ueber den Rauminhalt," 55 (1902), 465-478].

⁸ H. Minkowski: Die Geometrie der Zahlen. Teubner, Leipzig, 1896.

⁹ D. Hilbert. "Ueber die gerade Linie als kürzeste Verbindung zweier Punkte," Math. Annalen, 46 (1895), 91-96.

¹⁰ S. Lie and F. Engel, Theorie der Transformationsgruppen, vol. 3, Teubner, Leipzig, 1893, §§ 82 and 144.

¹¹ F. Schur: "Ueber den analytischen Charakter der eine endliche continuierliche Transformationgruppe darstellenden Functionen, " Math. Annalen 41 (1893), 509-538.

¹² Abel: Werke, vol. 1, pp. 1, 61, 389.

¹³ É. Picard: "Quelques théories fondamentales dans l'analyse mathématique," Conférences faites à Clark University, Revue générale des Sciences, 1900, p. 22.

¹⁴ Cf. G. Bohlmann, "Ueber Versicherungsmathematik," from the collection: F. Klein and E. Riecke, Ueber angewandte Mathematik und Physik, Teubner, Leipzig, 1900.

¹⁵ E. Mach: Die Mechanik in ihrer Entwickelnng, Brockhaus, Leipzig, 4th edition, 1901.

¹⁶ H. Hertz: Die Prinzipien der Mechanik, Leipzig, 1894.

¹⁷ L. Boltzmann: Vorlesungen über die Principe der Mechanik, Leipzig, 1897.

¹⁸ P. Volkmann: Einführung in das Studium der theoretischen Physik, Teubner, Leipzig, 1900.

¹⁹ A. Hurwitz: Math. Annalen 22 (1883), 211-229, and 32 (1888), 583-588.

²⁰ Cf. an article by H. von Koch, which is soon to appear in Math. Annalen ["Ueber die Riemann'sche Primzahlfunction," 55 (1902), 441-464].

²¹ Cf. M.-P. Stackel: "Über Goldbach's empirisches Theorem," Gött. Nachrichten, 1896, and Landau, ibid., 1900.

²² D. Hilbert: Jahresber. d. Deutschen Math.-Vereinigung, "Ueber die Theorie der algebraischen Zahlkörper," 4 (1897), Part V (pp. 175-546).

²³ D. Hilbert: "Ueber die Theorie des relativquadratischen Zalhkörpers," Math. Annalen 51 (1899), 1-127, and Gött. Nachrichten, 1898.

²⁴ D. Hilbert, "Ueber den Dirichlet'schen biquadratischen Zahlenkörper," Math. Annalen, 45(1884); "Ueber die Theorie der relativquadratischen Zahlkörper," Jahresber. d. Deutschen Mathematiker-Vereinigung 6 (1897), 88-94, and Math. Annalen, 51 (1899); "Ueber die Theorie der relativ-Abel'schen Zahlkörper," Gött. Nachrichten, 1898, pp. 370-399; Grundlagen der Geometrie, Leipzig, 1899, Chap. VIII, § 83 [Translation by Townsend, Chicago, 1902]. Cf. also the dissertation of G. Ruckle, Göttingen, 1901.

²⁵ H. Weber: Elliptische Functionen und algebraische Zahlen. Vieweg, Braunschweig, 1891.

²⁶ K. Hensel: "Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zalen," Jahresber. d . Deutschen Math.-Vereinigung 6 (1897), 83-88, and an article soon to appear in Math. Annalen [55, (1902), 301]: "Ueber die Entwickelung der algebraischen Zahlen in Potenzreihen."

²⁷ G. Landsberg: "Ueber das Analogon des Riemann-Roch'schen Satzes in der Theorie der algebraischen Zalen," Math. Annalen 50 (1898), 577-582.

²⁸ Cf. Hilbert, "Ueber die Theorie der relativ-Abelschen Zahlkörper," Gött. Nachrichten, 1898, pp. 370-399.

²⁹ M. d'Ocagne, Traité de Nomographie, Gauyhier-Villars, Paris, 1899.

³⁰ M. d'Ocagne: "Sur la résolution nomographique de l'équation du septième degré." Comptes rendus Paris, 131 (1900), 522-524.

³¹ Cf. L. Murer: Sitzungsber. d. K. Acad. d. Wiss. zu München, 1899, and an article about to appear in Math. Annalen.

³² A. Hurwitz: "Ueber die Erzeugung der Invarianten durch Integration," Gött. Nachrichten, 1897, pp. 71-90.

³³ D. Hilbert: "Ueber die Theorie der algebraischen Formen," Math. Annalen, 36 (1890), 473-534.

³⁴ H. Schubert: Kalkül der abzählenden Geometrie, Teubner, Leipzig, 1879.

³⁵ Harnack: "Ueber die Vieltheiligkeit der ebenen algebraischen Curven," Math. Annalen, 10 (1876), 189-198.

³⁶ Cf. K. Rohn, "Flächen vierter Ordnung," Preisschriften der Fürstlich Jablonowskischen Gesellschaft, Leipzig, 1886.

³⁷ D. Hilbert: "Ueber die Darstellung definiter Formen als Summen von Formenquadraten," Math. Annalen, 32 (1888), 342-350.

³⁸ D. Hilbert: "Über ternäre definite Formen," Acta Mathematica, 17 (1893), 169-198.

³⁹ Cf. Hilbert Grundlagen der Geometrie, Leipzig, 1899, Chap. 7 and in particular §38.

⁴⁰ C. Jordan: "Mémoire sur les équations différentielles linéaires à intégrale algébrique," [Crelle's] Journal für die Reine und Angew. Math. 84 (1879), and Atti d. Reale Acad. di Napoli, 1880.

⁴¹ R. Fricke and F. Klein: Vorlesungen über die Theoire der automorphen Functionen, Teubner, Leipzig, 1897. Cf. especially Abschnitt I, Chapters 2 and 3.

⁴² E. Fedorov: Symmetrie der regelmässigen Systeme von Figuren, l890.

⁴³ A. Schoenflies: Krystallsysteme und Krystallstruktur, Teubner, Leipzig, 1891.

⁴⁴ K. Rohn: "Einige Sätze über regelmässige Punktgruppen," Math. Annalen, 53 (1900), 440-449.

⁴⁵ Hölder: "Uber die Eigenschaft der Gammafunction keiner algebraischen Differentialgleichung zu genügen," Math. Annalen, 28 (1887), 1-13.

⁴⁶ Picard: Jour. de l'Ecole Polytech., 1890.

⁴⁷ Cf. D. Hilbert: "Über das Dirichlet'sche Princip," Jahresber. d. Deutschen Math.-Vereinigung, 8 (1900), 184-188.

⁴⁸ L. Schlesinger: Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen, vol. 2, part 2, No. 366.

⁴⁹ H. Poincaré: "Sur un théorème de la théorie générale des fonctions," BuII. de la Soc. Math. de France, 11 (1883),112-125.

⁵⁰ Text-books: Moigno and Lindelöf, Leçons du calcul des variations, Mallet-Bachelier, Paris, 1861, and A. Kneser, Lehrbuch der Variations-rechnung, Vieweg, Braunschweig, 1900.

⁵¹ As an indication of the contents of this work, it may here be noted that for the simplest problems Kneser derives sufficient conditions of the extreme even for the case that one limit of integration is variable, and employs the envelope of a family of curves satisfying the differential equations of the problem to prove the necessity of Jacobi's conditions of the extreme. Moreover, it should be noticed that Kneser applies Weierstrass's theory also to the inquiry for the extreme of such quantities as are defined by differential equations.

⁵² Cf. Kneser's above-mentioned textbook, §§ 14, 16, 19 and 20.

Algunas fotos de Hilbert se encuentran en

 ° http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/PictDisplay/Hilbert.html  

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